函数极限的求法

一元函数极限的求法邯郸学院武安分院贾书银[摘要]：函数极限在数学分析中占有非常重要的地位，我们应该系统而全面地了解它。掌握函数极限的定义、性质和求法。本文就着重讲述了求函数极限的11种方法。[关键词]：两边夹定理洛必达法则等价无穷小量泰勒展式数学分析这一门课的研究对象是函数，主要研究函数的连续性、可微性和可积性。而研究函数的这些性质都要借助极限这一工具。例如:函数值的增量与自变量增量比值的极限就是函数的导数;一元函数与小区间长度乘积的和式的极限是定积分;二元函数与小矩形面积乘积的和式的极限是二重积分等等，总之,和式的内容不一样,所定义的名称也不一样。这些导数定义、积分定义都是由变量的极限脱胎而来的。可以说没有极限的概念，就没有数学分析。此外,泛函分析和拓扑学等则是极限的发展和深化。既然函数的极限如此重要,所以如何求出已知函数的极限,就是学习微积分必须掌握的基本技能,本文简述几种求函数极限的方法。1、利用连续函数的定义求极限连续函数在某一点的函数值等于其极限值，即00limxxfxfx例1、22lim2sincosxxxx解：22lim2sincosxxxx=22sincos222=2214评注：如果函数在某一点不连续，我们可以通过因式分解或分子、分母有理化进行约分，使原函数在这一点连续。例2、4123lim2xxx解：4123lim2xxx=4242lim4123xxxxx=42(2)lim123xxx=2(42)183=43。例3、2211lim21xxxx解：2211lim21xxxx=111lim121xxxxx=11lim21xxx=23评注：如果无法通过约分化为连续函数的话，就要考虑其他方法了。比如换元法和洛必达法则等。2、利用变量代换即换元法求极限例4、0arcsinlimxxx解：令t=arcsinx,则x=sint0arcsinlimxxx=0limsinxtt=01limsinxtt=13、利用洛必达法则求极限例5、200coslimxxtdtx解:200coslimxxtdtx=20coslim1xx=1评注：洛必达法则主要解决00和待定型的极限问题，但也不是所有的满足待定型的函数的极限都用洛必达法则，这是因为有的不能用它求解，有的求起来比较麻烦，这时候我们可以考虑适当的分组和替换求极限。4、恰当分组求极限例6、30tansinlimxxxx解：30tansinlimxxxx=20sin11coslimcosxxxxxx=125、利用等价无穷小量替换求极限当0x时，有下列常用的几组等价无穷小量：sin~xxtan~xxarctan~xxarcsin~xxln1~xx1~xex21cos~2xx1~lnxaxa11~nxxn11~xx例7、2020limsin2xtxxedtxx解:2020limsin2xtxxedtxx=2030lim2xtxxedtx=2201lim6xxex=220lim6xxx=16例8、22013sincoslim1sinln1xxxxxx解：22013sincoslim1sinln1xxxxxx=220013sincos1limlim1sinln1xxxxxxx=220013sincos1limlim1sinxxxxxxx=200sin13limlimcosxxxxxx=36、利用泰勒展式求极限2102!!nxnxxexxn352121sin103!5!21!nnnxxxxxxn2422cos1102!4!2!nnnxxxxxn352121arctan103521nnnxxxxxxn231ln11023nnnxxxxxxn2123!!1110282!!nnnnxxxxxn例9、01lim1cosxxexxx解：22102!xxexx22cos1024!xxxx2211028xxxx01lim1cosxxexxx=22022102lim110824xxxxx=37、利用重要极限和公式求极限两类重要极限为：0sinlim1xxx1limsin1xxx1lim1xxex10lim1xxxe公式limlimlimxvxvxxxuxux例10、11limsincosxxxx解：11limsincosxxxx=2211limsincosxxxx=22lim1sinxxx=2sin122sin2lim1sinxxxxx=1e=e8、利用两边夹定理求极限例11、limxxx解：当x0时，11xxxxxx，而且1lim1xxx所以由两边夹定理得lim1xxx当x0时，11xxxxxx，而且1lim1xxx所以由两边夹定理得lim1xxx综合以上结论得limxxx=19、利用对数变换求极限例12、10limxxxxe解：10limxxxxe=ln0limxxexxe=0lnlimxxxexe00ln1limlim2xxxxxxeexxe120limxxxxee10、利用无穷小量的性质求极限无穷小量和有界量的乘积还是无穷小量。例13、01limsin0xxx011、利用积分中值定理求极限例14、12001lim1xdtxt解：由积分中值定理可得12011dtxt=21011x12001lim1xdtxt=201lim1xx=1