函数模型及应用3-2-2

第三章函数的应用与名师对话·系列丛书第1页课标A版·数学·必修1函数的应用第三章与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第2页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修13.2函数模型及其应用与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第3页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修13.2.2函数模型的应用举例与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第4页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1知识精要自主探究与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第5页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1学习目标目标解读1.了解函数模型的广泛应用．2．体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，掌握求解函数应用题的基本步骤.重点是利用函数模型求解实际问题，难点是对数据的合理处理，如何建立函数模型.与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第6页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1[知识梳理]1．函数模型应用的两个方面(1)利用已知解决问题．(2)建立恰当的，并利用所得解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．函数模型函数模型函数模型与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第7页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1(3)常用到的函数模型：①正比例函数模型：y＝kx(k≠0)；②反比例函数模型：y＝cx＋dax＋b(a≠0)；③一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)；④二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；⑤指数函数模型：y＝m·ax＋b(a0，且a≠1，m≠0)；⑥对数函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a0且a≠1)；⑦幂函数模型：y＝k·xn＋b(k≠0)．与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第8页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修12．应用函数模型解决问题的基本过程与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第9页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1核心突破迷津点悟与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第10页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修11.一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．函数模型的应用与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第11页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1问题1：从图中你能读出什么信息？提示：在汽车行驶的5小时内，每小时汽车的行驶速率．问题2：图中5个小矩形的面积之和为多少？它有什么实际含义？提示：面积之和为360，它表示5小时内汽车行驶的路程是360km.与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第12页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修12．某桶装水经营部每天的房租、工作人员等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．销售单价与日销售量的关系如图所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润．与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第13页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1问题1：你能看出表中的数据有什么变化规律吗？提示：销售价格每增加1元，日销售量就减少40桶．问题2：假设每桶水在进价的基础上增加x元，则月均销售量为多少？提示：520－40x(桶)．问题3：假设日均销售利润为y元，你能写出y与x之间的函数关系式吗？提示：能．y＝－40x2＋520x－200.问题4：你知道怎样去解决本题所提的问题了吗？提示：求函数最值．当x＝6.5时，y有最大值1490(元)．与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第14页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1[要点归纳]解函数应用题的步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学结论还原为实际问题的解．与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第15页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦·时，本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦·时)与(x－0.4)元成反比例．又当x＝0.65元时，y＝0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每千瓦·时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[利益＝用电量×(实际电价－成本价)][思路引导]已知函数模型，如何确定函数解析式？与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第16页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1[解](1)∵y与x－0.4成反比例，∴设y＝kx－0.4(k≠0)．把x＝0.65，y＝0.8代入上式，得0.8＝k0.65－0.4，k＝0.2.∴y＝0.2x－0.4＝15x－2，即y与x之间的函数关系式为y＝15x－2(0.55≤x≤0.75)．与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第17页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1(2)根据题意，得1＋15x－2·(x－0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．整理，得x2－1.1x＋0.3＝0.解得x1＝0.5，x2＝0.6.经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根．因x的取值范围是0.55～0.75之间，故x＝0.5不符合题意，应舍去．所以取x＝0.6.答：当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第18页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1已知函数模型求实际应用问题的解是最基本的一种题型，也是初学应用问题中最常见的一种．与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第19页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1[变式训练1]工厂生产某种产品的月产量y和月份x满足关系y＝a·2x＋b.现已知该厂1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．[解析]由题意得2a＋b＝14a＋b＝1.5，得a＝14b＝12，∴y＝14·2x＋12，当x＝3时，y＝14×8＋12＝52.[答案]52与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第20页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1据市场分析，某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点．写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系．已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第21页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1[思路引导](1)选取二次函数为模型，如何设其解析式？函数的定义域是什么？(2)如何求二次函数的最值？与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第22页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1[解](1)y＝a(x－15)2＋17.5，将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5.解得a＝110.所以y＝110(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．(2)设最大利润为Q(x)，则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－110x2－3x＋40与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第23页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1＝－110(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)．因为x＝23∈[10,25]，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第24页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小值等问题．与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第25页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1[变式训练2](1)用长度为24m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙．要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长度为()A．3mB．4mC．5mD．6m(2)某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.6万元，但每生产100台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元，市场对该机器的需求量为1000台，销售收入(单位：万元)函数为：R(x)＝5x－12x2(0≤x≤10)，其中x是产品的数量(单位：百台)，则利润f(x)表示为产量的函数为________．与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第26页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1[解析](1)设隔墙的长为xm，矩形场地的面积为S，则S＝x·24－4x2＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，S有最大值18.(2)由题意得总成本为0.6＋0.25x，从而利润为f(x)＝5x－12x2－(0.6＋0.25x)＝－12x2＋4.75x－0.6(0≤x≤10)．[答案](1)A(2)f(x)＝－12x2＋4.75x－0.6(0≤x≤10)与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第27页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第28页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)[思路引导]函数可以分为“几段”，每段上的解析式如何确定？如何求分段函数的最值？与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第29页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1[解](1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，再由已知得200a＋b＝020a＋b＝60，解得a＝－13b＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝600≤x≤2013200－x20x≤200.与名师对话·系列丛书知识精要与名师对话·系列丛书第30页核心突破课时作业第三章3.23.2.2学考同步课标A版·数学·必修1(2)依题意并结合(1)可得f(x)＝