函数的三要素

函数的三要素一、知识要点1．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则．2．相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数．[探究]2.若两个函数的定义域与值域相同，它们是否是同一个函数？提示：不一定．如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y＝sinx与y＝cosx，其定义域都为R，值域都为[－1,1]，显然不是同一个函数．因为定义域和对应法则完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应法则完全相同的两个函数才是同一个函数．3．函数的表示方法表示函数的常用方法有：列表法、解析法和图象法．4．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数，通常叫做分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．5．常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R.(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(6)y＝tanx的定义域为x|x≠kπ＋π2，k∈Z.(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．6．求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋a－bx2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．【例题精讲】[例1]有以下判断：①f(x)＝|x|x与g(x)＝1x≥0，－1x0表示同一个函数；②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；④若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff12＝0.其中正确的是________(填序号)．[自主解答]对于①，函数f(x)＝|x|x的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝1x≠0，－1x0的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，若x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数的定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以f(x)与g(t)表示同一函数；对于④，由于f12＝12－1－12＝0，所以ff12＝f(0)＝1.综上可知，正确的判断是②③.[答案]②③[例2]已知函数f(x)＝12x，x≥4，fx＋1，x4，则f(2＋log23)的值为________．[自主解答]∵2＋log234，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)．∵3＋log234，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝123＋log23＝18×12log23＝18×13＝124.[答案]124[例3](1)(2012·山东高考)函数f(x)＝1lnx＋1＋4－x2的定义域为________．(2)已知函数f(x2－1)的定义域为[0,3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．[自主解答](1)x满足x＋10，x＋1≠1，4－x2≥0，即x－1，x≠0，－2≤x≤2.解得－1x0或0x≤2.(2)∵0≤x≤3，∴0≤x2≤9，－1≤x2－1≤8.∴函数y＝f(x)的定义域为[－1,8]．[答案](1)(－1,0)∪(0,2](2)[－1,8]【互动探究】本例(2)改为f(x)的定义域为[0,3]，求y＝f(x2－1)的定义域．解：∵y＝f(x)的定义域为[0,3]，∴0≤x2－1≤3，解得－2≤x≤－1或1≤x≤2，所以函数定义域为[－2，－1]∪[1,2]．[例4](1)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式．(2)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)的解析式．(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．(4)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．[解](1)由于fx＋1x＝x2＋1x2＝x＋1x2－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．(2)令2x＋1＝t得x＝2t－1，代入得f(t)＝lg2t－1，又x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg2x－1(x1)．(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，解得a＝b＝12.所以f(x)＝12x2＋12x(x∈R)．(4)当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①以－x代x，得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)，得f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)．【方法规律】求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)．[例5]求下列函数的值域：(1)y＝x－3x＋1；(2)y＝x－1－2x；(3)y＝x＋4x.[自主解答](1)法一：(分离常数法)y＝x－3x＋1＝x＋1－4x＋1＝1－4x＋1.因为4x＋1≠0，所以1－4x＋1≠1，即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．法二：由y＝x－3x＋1得yx＋y＝x－3.解得x＝y＋31－y，所以y≠1，即函数值域是{y|y∈R，y≠1}．(2)法一：(换元法)令1－2x＝t，则t≥0且x＝1－t22，于是y＝1－t22－t＝－12(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤12，故函数的值域是y|y≤12.法二：(单调性法)容易判断函数y＝f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤12.所以y≤f12＝12，即函数的值域是y|y≤12.(3)法一：(均值不等式法)当x0时，x＋4x≥2x×4x＝4，当且仅当x＝2时“＝”成立；当x0时，x＋4x＝－(－x－4x)≤－4，当且仅当x＝－2时“＝”成立．即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．法二：(导数法)f′(x)＝1－4x2＝x2－4x2.x∈(－∞，－2)或x∈(2，＋∞)时，f(x)单调递增，当x∈(－2,0)或x∈(0,2)时，f(x)单调递减．故x＝－2时，f(x)极大值＝f(－2)＝－4；x＝2时，f(x)极小值＝f(2)＝4.即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．【互动探究】若将本例(3)改为“y＝x－4x”，如何求解？解：易知函数y＝x－4x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，故函数y＝x－4x的值域为R.1．求下列函数的值域．(1)y＝log2(4－x2)；(2)y＝x2－xx2－x＋1；(3)y＝log3x＋logx3－1.解：(1)因为4－x2∈(0,4]，所以log2(4－x2)∈(－∞，2]，故原函数的值域为(－∞，2]．(2)y＝x2－x＋1－1x2－x＋1＝1－1x2－x＋1，∵x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴01x2－x＋1≤43，∴－13≤y1，即值域为－13，1.(3)y＝log3x＋1log3x－1，令log3x＝t，则y＝t＋1t－1(t≠0)，当x1时，t0，y≥2t·1t－1＝1，当且仅当t＝1t即log3x＝1，x＝3时，等号成立；当0x1时，t0，y＝－－t＋－1t－1≤－2－1＝－3.当且仅当－t＝－1t即log3x＝－1，x＝13时，等号成立．综上所述，函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．[例6]已知函数f(x)＝ax2＋bx.若至少存在一个正实数b，使得函数f(x)的定义域与值域相同，求实数a的值．[自主解答]①若a＝0，则对于每个正数b，f(x)＝bx的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a＝0满足条件；②若a0，则对于正数b，f(x)＝ax2＋bx的定义域为D＝{x|ax2＋bx≥0}＝－∞，－ba∪[0，＋∞)，但f(x)的值域A⊆[0，＋∞)，故D≠A，即a0不符合条件；③若a0，则对于正数b，f(x)＝ax2＋bx的定义域D＝0，－ba，由于此时f(x)max＝f－b2a＝b2－a，故f(x)的值域为0，b2－a，则－ba＝b2－a⇒a0，2－a＝－a⇒a＝－4.综上所述，a的值为0或－4.变式训练1．已知函数2()2xfxx在区间[,]mn上的值域是[3,3]mn，则m，n的值为由211()(1)22fxx，知113,,26nn，则[,](,1]mn，f(x)在[,]mn上递增。所以maxmin()()3()()3fxfnnfxfmm解得4,0mn[例7]已知函数f(x)＝13x，x∈[－1,1]，函数g(x)＝f2(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a)．(1)求h(a)的解析式；(2)是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①mn3；②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由f(x)＝13x，x∈[－1,1]，知f(x)∈13，3，令t＝f(x)∈13，3记g(x)＝y＝t2－2at＋3，则g(x)的对称轴为t＝a，故有：①当a≤13时，g(x)的最小值h(a)＝289－2a3，②当a≥3时，g(x)的最小值h(a)＝12－6a，③当13a3时，g(x)的最小值h(a)＝3－a2综上所述，h(a)＝289－2a3，a≤13，3－a2，13a3，12－6a，a≥3，(2)当a≥3时，h(a)＝－6a＋12，故mn3时，h(a)在[n，m]上为减函数，所以h(a)在[n，m]上的值域为[h(m)，h(n)]．由题意，则有hm＝n2，hn＝m2⇒－6m＋12＝n2，－6n＋12＝m2，两式相减得6n－6m＝n2－m2，又m≠n，所以m＋n＝6，这与mn3矛盾，故不存在满足