函数的凸性与拐点

第六章第五节第1页函数的凸性与拐点教学目的：熟练掌握函数凸性的相关定义定理以及判别函数凸性与拐点的方法。重点难点：重点为对函数凸性概念的理解，难点为函数凸性相关命题的证明。教学方法：讲练结合。考察函数2)(xxf和xxf)(的图象．它们不同的特点是：曲线2)(xxf上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲xxf)(线则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方．我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数；后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数．一、函数的凸性1．定义设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点21,xx和任意实数)1,0(总有)()1()())1((2121xfxfxxf，则称f为I上的凸函数．反之，如果总有)()1()())1((2121xfxfxxf则称f为I的凹函数．如果不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数．易证：若f为区间I上的凸函数，则f为区间I上的凹函数．故只需讨论凸性即可．2．引理f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点,321xxx总有1212)()(xxxfxf2323)()(xxxfxf。证[必要性]记.)1(,3121323xxxxxxx则由f的凸性知道),()()()1()())1(()(313121132331312xfxxxxxfxxxxxfxfxxfxf第六章第五节第2页从而有)()()()()()(312123213xfxxxfxxxfxx，),()()()()()()()(312123212223xfxxxfxxxfxxxfxx整理后即得(3)式·[充分性]在f上任取两点1x，3x（1x3x)，在[31,xx]上任取一点)1(12xx3x，.),1,0(1323xxxx即由必要性的推导逆过程，可证得),()1()())1((3131xfxfxxf故f为I上的凸函数同理可证，f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上任意三点21xx3x，有.)()()()()()(232313131212xxxfxfxxxfxfxxxfxf3．可导函数凸性的等价命题定理6.13设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价：1f为I上凸函数；2'f为I上的增函数；3对I上的任意两点21,xx，有))(()()(12112xxxfxfxf．(5)证(21)任取I上两点21,xx(21xx)及充分小的正数h．由于hxxxhx2211，根据f的凸性及引理有.)()()()()()(22121211hxfhxfxxxfxfhhxfxf由f是可导函数，令0h时可得)()()()(212121xfxxxfxfxf，所以f为I上的递增函数．(32)在以)(,2121xxxx为端点的区间上，由拉格朗日中值定理和f递增，有第六章第五节第3页))(())(()()(1211212xxxfxxfxfxf．移项后即得(5)式成立，且当21xx时仍可得到相同结论．(13)设以21,xx为上任意两点，213)1(xxx01．由3，并利用)())(1(12322131xxxxxxxx与，).)(()())(()()(),)(()1()())(()()(123332332213331331xxxfxfxxxfxfxfxxxfxfxxxfxfxf分别用和1乘上列两式并相加，便得))1(()()1()(2121xxfxfxf．从而f为I上的凸函数．口注:论断3几何意义：曲线)(xfy总在它任一切线之上．这是可导凸函数的几何特征．4．二阶可导函数凸性的充要条件定理6．14设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸(凹)函数的充要条件是Ixxfxf),0)((0)(．例1讨论函数xxfarctan)(的凸(凹)性区间。解由于22)1(2)(xxxf，因而当0x时，0;0)(xxf时0)(xf．从而在(0,]上f为凸函数，在[,0)上f为凹函数．口例2若函数f为定义在开区间(ba,)内的可导的凸(凹)函数，则ax(0,)b为f的极小(大)值点的充要条件是0x为f的稳定点，即0)(0xf．证下面只证明f为凸函数的情形．必要性已由费马定理可出，现在证明充分性．由定理6．13，任取(ba,)内的一点)(0xx，它与0x一起有).)(()()(000xxxfxfxf因0)(0xf，故),(bax有)()(0xfxf，即0x为f的极小值点(且为最小值点)．第六章第五节第4页例3(詹森(Jensen)不等式)若f为],[ba上凸函数，则对任意axi[，,1),,,2,1(0],1niiinib有).()(11iniiniiixfxf（6）证应用数学归纳法．当2n时，命题显然成立．设kn时命题成立．即对任意],[,,,21baxxxk及,1,,2,1,01niiiakia都有).()(11ikiiikiixfaxaf现设],[,,,121baxxxxkk及1),1,,2,1(011kiiiki令1,,,2,1,111kiikiiakia则．由数学归纳法假设可推得)(112211kkkkxxxxf).()()(1)(1)(1)1()()]()()()[1()()()1(1)1(111112121111112211112211111122111ikiikkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxfxfxfxfxfxfxfaxfaxfaxfxaxaxafxxxxf这就证明了对任何正整数)2(n，凸函数f总有不等式(8)成立．例4证明不等式cbacbacbaabc3)(，其中cba,,均为正数证设.0,ln)(xxxxf由)(xf的一阶和二阶导数,1ln)(xxfxxf1)(可见，xxxfln)(在0x时为严格凸函数，依詹森不等式有第六章第五节第5页,)()()(313cfbfafcbaf从而),lnlnln(313ln3ccbbaacbacbacbacbacbacba)3(。又因,33cbaabc所以.)(3cbacbacbaabc例5设f为开区间I内的凸(凹)函数，证明f在I内任一点0x都存在左、右导数。证下面只证凸函数f在0x存在右导数.设0,21hh则对20100hxhxx（这里取充分小的2h，使0x+),2Ih由引理中的(4)式有20201010)()()()(hxfhxfhxfhxf令,)()()(00hxfhxfhF故由上式可见F为增函数，任取Ix且0xx则对任何,0h只要,0Ihx也有).()()()()(0000hFhxfhxfxxxfxf因而函数F(h)在h0上有下界．故极限F(h)存在，即)(0xf．存在。二、函数的拐点定义2设曲线)(xfy在点))(,(00xfx处有穿过曲线的切线．且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点))(,(00xfx为曲线)(xfy的拐点．由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点．例l中的点(0，0)为y=arctanx的拐点．正弦曲线y=sinx有拐点kk),0,(为整数．1．拐点存在的必要条件定理6．15若f在0x二阶可导，则))(,(00xfx为曲第六章第五节第6页线)(xfy的拐点的必要条件是0)(0xf2．拐点存在的充分条件定理6．16设f在0x可导，在某邻域)(0xU内二阶可导．若在)(0xU和)(0xU上)(xf的符号相反，则()(,00xfx)为曲线)(xfy的拐点．注：若()(,00xfx)是曲线)(xfy的一个拐点，)(xfy在0x的未必可导．如：函数y=3x在x=0的情况．练习：习题2，3作业：习题1（1），4，5（1）