函数的凹凸性在高考中的应用

1、凹凸函数定义及几何特征⑴引出凹凸函数的定义：如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1xf与)(2xf都是增函数。但是)(1xf与)(2xf递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1xf的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2xf的增长方式的函数称为凸函数。⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）：设函数f为定义在区间I上的函数，若对（a，b）上任意两点1x、2x，恒有：（1）1212()()()22xxfxfxf，则称f为（a，b）上的凹函数；（2）1212()()()22xxfxfxf，则称f为（a，b）上的凸函数。⑶凹凸函数的几何特征：几何特征1（形状特征）图4（凹函数）图5（凸函数）如图，设21,AA是凹函数y=)(xf曲线上两点，它们对应的横坐标12xx，则111(,())Axfx，222(,())Axfx，过点122xx作ox轴的垂线交函数于A，交21AA于B，凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A与2A之间的部分位于弦21AA的下方;凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A与2A之间的部分位于弦21AA的上方。简记为：形状凹下凸上。几何特征2（切线斜率特征）图6（凹函数）图7（凸函数）设21,AA是函数y=)(xf曲线上两点，函数曲线1A与2A之间任一点A处切线的斜率：凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(xf随x增大而增大；凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(xf随x增大而减小；简记为：斜率凹增凸减。几何特征3（增量特征）图8（凹函数）图9（凸函数）图10（凹函数）图11（凸函数）设函数ｇ（ｘ）为凹函数，函数ｆ（ｘ）为凸函数，其函数图象如图8、9所示，由图10、11可知，当自变量ｘ逐次增加一个单位增量Δｘ时，函数ｇ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越大；函数ｆ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越小；由此，对ｘ的每一个单位增量Δｘ，函数ｙ的对应增量Δｙｉ（ｉ＝1，2，3，…）凹函数的增量特征是：Δｙｉ越来越大；凸函数的增量特征是：Δｙｉ越来越小；简记为：增量凹大凸小。弄清了上述凹凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题．函数凹凸性的应用应用1凹凸曲线问题的求法下面我们用增量特征（增量法）准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题．题目：一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图12所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图13中的（）．解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，根据鱼缸形状可知V的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．例3（06重庆理）如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是（）图17ABCD图12图13解：易得弓形AxB的面积的2倍为f(x)=ｘ-sinｘ．由于ｙ１＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，ｙ１的对应增量Δｙ不变；而ｙ２＝sinｘ是正弦曲线，在［0，π］上是凸的，在［π，2π］上是凹的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ２对应的增量ｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的f(x)的变化，在ｘ∈［0，π］上其增量Δf(x)ｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，在ｘ∈［π，2π］上，其增量Δf(x)ｉ则越来越小，故f(x)关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是凹的，后来在［π，2π］上是凸的，故选D．应用2凹凸函数问题的求法例1、(2005·湖北卷)在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cos2x这四个函数中,当0x1x21时,恒成立的函数的个数是().A.0B.1C.2D.3分析：运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x1,x2∈I,且x1x2,当f(x)总满足时,函数f(x)在区间I上的图象是“上凸”的,由此否定y=2x,y=x2,y=cos2x，应选B。本小题主要考查函数的凹凸性，试题给出了四个基本初等函数，要求考生根据函数的图像研究函数的性质---凹凸性，对试题中的不等关系式：，既可以利用函数的图像直观的认识，也可以通过代数式的不等关系来理解。考查的重点是结合函数的图像准确理解凹凸的含义.例2、（05北京卷理13）对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：①f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)；③1212()()fxfxxx0；④1212()()()22xxfxfxf.当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是（②③）。本题把对数的运算（①②）、对数函数的单调性（③）、对数函数图像的凹凸性（④）等知识有机的合成为一道多项填空题，若对函数的性质有较清楚的理解便不会有困难，而靠死记硬背的考生就会有问题。