函数的单调性与最值讲义

１函数的单调性讲义知识点一：函数单调性(1)相关概念增函数：一般地，设函数)(xf的定义域为I，如果对于属于定义域I内某个区间上任意两个自变量的值21,xx，当21xx，都有)()(21xfxf，那么就说)(xf在这个区间上是增函数，如下图（1）；用数学符号表示：xfxfxfxxxxxfxf0021212121是增函数.减函数：一般地，设函数)(xf的定义域为I，如果对于属于定义域I内某个区间上任意两个自变量的值21,xx，当21xx，都有)()(21xfxf，那么就说)(xf在这个区间上是减函数，如下图（2）.用数学符号表示：xfxfxfxxxxxfxf0021212121是减函数.单调性：如果函数)(xf在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数)(xfy在这一区间具有（严格的）单调性.单调区间：函数)(xf在某个区间上具有单调性，则这一区间就叫做函数)(xfy的单调区间.（2）对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：①单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性；②单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的21,xx具有任意性，不能用特殊值代替.③由于定义都是充要性命题，因此由)(xf是增（减）函数，且)()()(212121xxxxxfxf，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.２知识点二：函数单调性的判定方法（常用的）（1）定义法（基本法）；①取值：任取Dxx21,，且21xx；②作差：21xfxf；③变形：通常是因式分解或配方；④定号：即判断差21xfxf的正负；⑤下结论：即指出函数xf在给定区间D上的单调性.例：判断函数xxy1在（1，+∞）上的单调性．变式训练：证明函数xxf1在,0上是减函数.（2）利用已知函数的单调性；在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的单调性，因此掌握并熟记一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程.如果函数xfy在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数xfy在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做xfy的单调区间.①0abaxy的单调性：0a增函数，0a减函数；②0kxky的单调性：0k减区间,0,0,；0k增区间,0,0,；③02acbxaxy的单调性：0a，减区间ab2,，增区间,2ab；0a，增区间ab2,，减区间,2ab；④xf在区间A上是增（减）函数，则0k时，xkf在A上是增（减）函数；0k时则相反；⑤若xf、xg是区间A上的增（减）函数，则xgxf在区间A上是增（减）函数；３⑥若0xf且在区间A上是增（减）函数，则xf1在A上是减（增）函数，xf在A上是增（减）函数；⑦轴（与x轴垂直）对称图形的函数在它们的对称区间上的单调性相反，中心对称图形的函数在它们的对称区间上单调性相同，例如求下列函数的单调区间：xy，2xy，212xy.（3）利用函数的图像；函数y＝|x2－2x－3|的单调增区间是________．【解析】y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|，作出该函数的图像(如图)．由图像可知，其增区间为[－1,1]和[3，＋∞)．（4）依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法；①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；②一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；③奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；④偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；⑤互为反函数的两个函数有相同的单调性；⑥如果)(xf在区间D上是增（减）函数，那么)(xf在区间D的任一子区间上也是增（减）函数；⑦如果)()(xguufy和单调性相同，那么)]([xgfy是增函数；如果)()(xguufy和单调性相反，那么)]([xgfy是减函数.对于复合函数的单调性，列出下表以助记忆.)(ufy)(xgu)]([xgfy上述规律可概括为“同性则增，异性则减”４例：函数322xxy的单调减区间是（）A.]3,(B.),1[C.]1,(D.),1[（5）求导（以后会学到）.知识点三：函数单调性的应用（1）利用函数的单调性可以比较函数值的大小；例：已知2()fxxbxc对称轴为2x，比较(1)f、(2)f、(4)f的大小。（2）利用函数的单调性求参数的取值范围；例：已知2()2(1)2fxxax在(,4]上是减函数，求实数a的取值范围。变式训练：函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(0，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)（3）求某些函数的值域或最值；①直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数)0(kxky的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数)0()(2acbxaxxf的定义域为R，当a0时，值域为{abacyy4)4(|2}；当a0时，值域为{abacyy4)4(|2}。②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2nmxcbxaxxf的形式；③分式转化法（或改为“分离常数法”）④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；５⑥基本不等式法：转化成型如：)0(kxkxy，利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。例1.求下列函数的值域：（1）232yxx；（2）265yxx；（3）312xyx；（4）41yxx；（5）21yxx；（6）|1||4|yxx；（7）22221xxyxx；（8）2211()212xxyxx；（9）1sin2cosxyx。解：（1）（配方法）2212323323()61212yxxx，∴232yxx的值域为23[,)12。改题：求函数232yxx，[1,3]x的值域。（利用函数的单调性）函数232yxx在[1,3]x上单调增，∴当1x时，原函数有最小值为4；当3x时，原函数有最大值为26。∴函数232yxx，[1,3]x的值域为[4,26]。（2）求复合函数的值域：设265xx（0），则原函数可化为y。又∵2265(3)44xxx，∴04，故[0,2]，∴265yxx的值域为[0,2]。（3）（法一）反函数法：312xyx的反函数为213xyx，其定义域为{|3}xRx，∴原函数312xyx的值域为{|3}yRy。（法二）分离变量法：313(2)773222xxyxxx，∵702x，∴7332x，∴函数312xyx的值域为{|3}yRy。６（4）换元法（代数换元法）：设10tx，则21xt，∴原函数可化为2214(2)5(0)ytttt，∴5y，∴原函数值域为(,5]。注：总结yaxbcxd型值域，变形：22yaxbcxd或2yaxbcxd（5）三角换元法：∵21011xx，∴设cos,[0,]x，则cossin2sin()4y∵[0,]，∴5[,]444，∴2sin()[,1]42，∴2sin()[1,2]4，∴原函数的值域为[1,2]。（6）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)xxyxxxxx，∴5y，∴函数值域为[5,)。（7）判别式法：∵210xx恒成立，∴函数的定义域为R。由22221xxyxx得：2(2)(1)20yxyxy①①当20y即2y时，①即300x，∴0xR②当20y即2y时，∵xR时方程2(2)(1)20yxyxy恒有实根，∴△22(1)4(2)0yy，∴15y且2y，∴原函数的值域为[1,5]。７（8）2121(21)111121212121222xxxxyxxxxxx，∵12x，∴102x，∴1111222()21122()22xxxx，当且仅当112122xx时，即122x时等号成立。∴122y，∴原函数的值域为1[2,)2。（9）（法一）方程法：原函数可化为：sincos12xyxy，∴21sin()12yxy（其中221cos,sin11yyy），∴212sin()[1,1]1yxy，∴2|12|1yy，∴2340yy，∴403y，∴原函数的值域为4[0,]3。点评：上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，在现行的中学数学要求中，求值域要求不高，要求较高的是求函数的最大与最小值，在后面的复习中要作详尽的讨论。８章末练习：一、选择题1．下列说法中，正确的有()①若任意x1，x2∈A，当x1x2时，fx1－fx2x1－x20，则y＝f(x)在A上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－1x在定义域上是增函数；④函数y＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A．0个B．1个C．2个D．3个2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝1xD．y＝－x2＋43．已知四个函数的图像如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是()4．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(0，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)5．(2013·洛阳高一检测)函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有()A．f(1)≥25B．f(1)＝25C．f(1)≤25D．f(1)25二、填空题6．已知f(x)＝x－12，x≥0，x＋1，x0，则f(x)的单调增区间是________．９7．若函数f(x)＝2x2－mx＋3在(－∞，－2]上为减函数，在[－2，＋∞)上为增函数，则f(1)＝________.8．函数y＝|x2－2x－3|的单调增区间是________．三、解答题9．求证：函数f(x)＝－1x－1在区间(0，＋∞)上是单调增函数．10．(2013·宁德检测)定义在(－1,1)上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且f(1－a)＋f(1－2a)0.若f(x)是(－1,1)上的减函数，求实数a的取值范围．11．(2013·福州检测)已知函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，并且当x0时，f(x)1.求证：f(x)在R上是增加的．