函数的基本性质与图象变换

一、函数2—函数的基本性质与图象变换一、基本知识归纳1、函数的奇偶性（1）确定函数奇偶性的常用方法：①定义法：先检查函数的定义域是否关于原点对称，化简函数解析式，再判断)()(xfxf或)()(xfxf是否成立②图象法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.（2）函数奇偶性质应用：①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.③若()fx为偶函数，则()()(||)fxfxfx.④若奇函数()fx定义域中含有0，则必有(0)0f.2.函数的单调性确定函数的单调性或单调区间的常用方法：①在解答题中常用：定义法（取值―作差―变形―定号）、导数法（注意区别：在区间(,)ab内，若总有()0fx，则()fx为增函数；反之，若()fx在区间(,)ab内为增函数，则()0fx.②复合函数的单调性：复合函数单调性：同增异减特别注意：①涉及单调性问题时，首先考虑定义域；②非连续单调区间之间不能用“”连接；③单调区间必须用区间表示.3.函数的周期性：函数()fx满足xafxf(0)a，则()fx是周期为a的周期函数。常用结论：①函数()fx满足xafxf，则()fx是周期为2a的周期函数；②若1()(0)()fxaafx恒成立，则2Ta；③若1()(0)()fxaafx恒成立，则2Ta.4.图象变换①函数axfy)0(a的图象是函数xfy的图象沿x轴向左平移a个单位而得.②函数xfy+a)0(a的图象是函数xfy助图象沿y轴向上平移a个单位而得.③函数axfy)0(a的图象是函数xfy的图象沿x轴伸缩为原来的a1而得.④函数xafy)0(a的图象是函数xfy的图象沿y轴伸缩为原来的a倍而得.⑤(||)fx的图象：先保留()fx在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到.⑥|()|fx的图象：先保留()fx原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到.⑦形如(0,)axbycadbccxd的图像是双曲线，其两渐近线分别直线dxc和直线ayc.基础练习1：（1）判断函数的奇偶性：①2|4|49xyx；②11()()212xfxx（2）已知函数3()log()afxxax在区间[1,)上是增函数，则a的取值范围是（3）已知奇函数)(xf是定义在)2,2(上的减函数,若0)12()1(mfmf，求实数m的取值范围。基础练习2：（1）设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10x时，xxf)(，则)5.47(f等于(答：5.0)（2）已知()fx是偶函数，且(1)993f，()gx=(1)fx是奇函数，则)2013(f的值为.基础练习3：（1）要得到)3lg(xy的图像，只需作xylg关于轴对称的图像，再向平移3个单位而得到.(答：y；右)（2）设()2,()xfxgx的图像与()fx的图像关于直线yx对称，()hx的图像由()gx的图像向右平移1个单位得到，则()hx为(答：2()log(1)hxx)（3）函数()lg(2)1fxxx的图象与x轴的交点个数有个(答：2)课时作业1、函数)(),(xgxf分别为R上的奇函数、偶函数，满足xexgxf)()(，则有（）A.)0()3()2(gffB.)2()3()0(ffgC.)3()0()2(fgfD.)3()2()0(ffg2、已知函数)(xfy的周期为2，当1,1x时，2)(xxf，那么函数)(xfy的图象与函数xylg的图象交点个数为（）A.10个B.9个C.8个D.1个3、函数2)1(2)(2xaaxxf在区间4,上是单调减函数，则a的取值范围是（）A.51,B.51,0C.,510D.,514、函数)0(,4)3()0(,)(xaxaxaxfx满足：对21xx有0)()(2121xxxfxf，则实数a的取值范围是（）A.]41,0(B.)1,0(C.)1,41[D.)3,0(5、定义在R上的函数fx满足4fxfx，如果124xx，则12fxfx的值为（B）A．恒大于0B.恒等于0C.恒小于于0D.可正可负6、对实数ba,，定义运算)1(,)1(,babbaaba，设函数Rxxxxf),1()2()(2,若函数cxfy)(的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A.,21,1B.2,11,2C.2,12,D.1,27、已知)(xf是定义在R上的奇函数，则函数2)3(xfy的图象经过定点为.8、已知函数)(xf是定义在R上的奇函数，对Rx，有)()3(xfxf，若1)1(f，132)2(aaf，则a的取值范围是.9、已知定义在,0上的函数)(xf满足：当0,0yx时，有)()()(yfxfxyf恒成立，当1a时，0)(af；（1）求证：)(xf在区间,0上单调递增；（2）解不等式0)2(2)(mfmf.10、已知)1(xf是定义在R上的偶函数，当1x时，xxxf2)(2，（1）求当1x时，)(xf的解析式；（2）若对任意的)1,0(x及)1,0(t，不等式4)2(22attxf，求实数a的取值范围.