函数的定义域

函数的定义域、值域及函数的解析式1．函数的定义域(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围．(2)求定义域的步骤①写出使函数式有意义的不等式(组)②解不等式组；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)(3)常见基本初等函数的定义域①分式函数中分母不等于零．②偶次根式函数、被开方式大于或等于0.对数的真数大于零.③一次函数、二次函数的定义域为.④y＝ax(a0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为.⑤y＝tanx的定义域为.⑥函数f(x)＝x0的定义域为．2．函数的值域(1)在函数y＝f(x)中，与自变量x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．(2)基本初等函数的值域①y＝kx＋b(k≠0)的值域是.②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a0时，值域为；当a0时，值域为.③y＝kx(k≠0)的值域是．④y＝ax(a0且a≠1)的值域是．⑤y＝logax(a0且a≠1)的值域是.⑥y＝sinx，y＝cosx的值域是．⑦y＝tanx的值域是.3．函数解析式的求法(1)换元法：若已知f(g(x))的表达式，求f(x)的解析式，通常是令g(x)＝t，从中解出x＝φ(t)，再将g(x)、x代入已知解析式求得f(t)的解析式，即得函数f(x)的解析式，这种方法叫做换元法，需注意新设变量“t”的范围．(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数．(3)消去法：若所给解析式中含有f(x)、f1x或f(x)、f(－x)等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f(x)．(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．难点正本疑点清源]1．函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识．2．(1)如果函数f(x)的定义域为A，则f(g(x))的定义域是使函数g(x)∈A的x的取值范围．(2)如果f(g(x))的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域．(3)f[g(x)]与f[h(x)]联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同．函数的定义域：例1（1）函数f(x)＝3x21－x＋lg(3x＋1)的定义域为_______．(2)函数y＝ln(x＋1)－x2－3x＋4的定义域为_______．变式：(1)若，则f(x)的定义域为__________．2)若函数f(x)＝x－4mx2＋4mx＋3的定义域为R，则实数m的取值范围是__________．例2(1)已知y=f(2x+1)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域；(2)已知f(x)的定义域为[0,2],求f(2x)的定义域.(3)若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域．变式2：已知f(x)的定义域是[0,4]，求：(1)f(x2)的定义域；(2)f(x＋1)＋f(x－1)的定义域．121log(21)fxx函数的值域例3求下列函数的值域．(1)y＝x2＋2x(x∈[0,3])；(2)y＝x－3x＋1；(3)y＝x－1－2x；(4)y＝log3x＋logx3－1.分析：根据各个函数解析式的特点，考虑用不同的方法求解．(1)配方法；(2)分离常（部分整数）数法；(3)换元法或单调性法；(4)基本不等式法．归纳小结：(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解求下列函数的值域：(1)y＝x2－xx2－x＋1；(2)y＝2x－1－13－4x.(3)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，试求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域．函数的解析式：例4(1)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(2)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋f1x＝3x，求f(x)的解析式．(5)设定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y),且满足f(1)=1,求f(0)及f(x)的表达式.给出下列两个条件：试分别求出f(x)的解析式．(1)f(x＋1)＝x＋2x；(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试分别求出f(x)的解析式．(3)已知函数f(x)满足3()2()22,fxfxx求f(x)的解析式.(4)已知f(x)是R上的函数,且f(0)=1,对任意x,y∈R恒有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x).函数解析式的求法分段函数∶分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数.它是一类表达形式特殊的函数,是中学数学中的一种重要函数模型。分段函数有关问题蕴含着分类讨论、数形结合等思想方法.一、分段函数的定义域和值域分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集,在表示每一段函数中x的取值范围时,要确保做到定义域不重不漏,即交集为空集,并集为整个定义域.值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。例1求函数4,23,0123,10xxyxxxx的定义域和值域二、分段函数的求值在求分段函数的值0()fx时，一定首先要判断0x属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式例1.设,0.(),0.xexgxlnxx则1(())2gg__________2.已知sin(0),()(1)1(0).xxfxfxx则1111()()66ff的值为.三、分段函数的单调性例已知(31)4,1()log,1aaxaxfxxx是(,)上的减函数，那么a的取值范围是（A）(0,1)（B）1(0,)3（C）11[,)73（D）1[,1)7四、分段函数的图象作出函数1yxx的图象五、分段函数的解析式2、已知函数)(xf是定义在),(上的偶函数.当)0,(x时，4)(xxxf，则当),0(x时，)(xf.3、已知函数)(xf是定义在R上的奇函数,且当20,()23.xfxxx时求f(x)的解析式.六、分段函数的奇偶性1．已知函数f(x)＝－x2＋2x，x0，0，x＝0，x2＋mx，x0是奇函数，(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．2.判断函数(1)(0),()(1)(0).xxxfxxxx的奇偶性七、与分段函数有关的不等式问题1、设函数2(1).(1)()41.(1)xxfxxx，则使得()1fx的自变量x的取值范围是__________2已知1(0)()1(0)xfxx　　　　，则不等式(2)(2)5xxfx的解集是________