函数的导数

12普通函数的导数到算子的导数中学中，我们首先接触的是一元函数，紧接着是二元函数与多元函数.而对于函数的导数，中学中只了解了一元函数的导数.导数作为微分学中重要的概念，描述函数在定义域上某点附近的变化率.随着知识的不断深入，在大学教材中，我们知道导数的本质是通过极限的形式对函数进行局部的线性逼近.随之，二元函数与多元函数的导数也相应给出.当然，还有其它形式的导数，例如本文介绍的Frechet导数和Gateaux导数.说到导数，导数的存在性也是非常重要的.由于导数是描述函数的局部性质，所以并不是所有的函数都有导数.同样，一个函数也不一定在所有的点上都有导数.若一个函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否者则称为不可导.1.函数的导数与几何意义定义1.1(一元函数的可微性)D是开区间，1:fD，0xD.如果函数的增量可表示为000()()()()()yfxfxAxxoxxAxoxA是只依赖于0x的常数，则称f在0x可微.Ax为f在0x处相应于增量x的微分.A为f在0x的导数，记为0()fx，其极限表示形式为00000()()()limlimxxfxxfxyAfxxx一元函数导数的几何意义如果函数f在0x处可微（可导），由公式0000()()()limxfxxfxfxx，可以做出函数f在0x的导数0()fx的几何图形，如下所示3图1.1由图1.1可知红线的斜率为00()()tanfxxfxyxx，当0x时，红线逐渐趋于蓝线，蓝线是函数f上点00(,())xfx的切线，则蓝线的斜率为0000()()tanlimtanlimxxfxxfxx.因此，一元函数导数的几何意义是函数在某点处的斜率.定义1.2（二元函数的可微性）2D是开集，1:fD，00012(,)xxxD.如果函数的增量可表示为000121200001122121122000()()(,)(,)(,)(,)(||)()(||),yfxfxfxxfxxfxxxxfxxAxAxoxxAxxoxx其中12,AA是只依赖于0x的常数，22012||()()xxxx，则称f在0x处可微（可导），称1122AxAx为f在0x处的全微分.此时，40,1,2.iixxfAix那么01122xxfxAAAfx此时，向量A称为f在0x的“梯度”，或“导数”.记作0()()fx，或0()fx，导数的极限形式为1200112001000122002(,)()lim().(,)()limxxfxxxfxxfxfxxxfxx二元函数导数的几何意义如果函数f在0x处可微（可导），由公式1200112001000122002(,)()lim()(,)()limxxfxxxfxxfxfxxxfxx，可以做出函数f在0x的导数0()fx的几何图形，如下所示图1.25由图1.2知函数()fx在图中就是曲面ABCD,A点坐标是00120(,,())xxfx.从平面xoz的角度看线AB的斜率是0011201(,)()tanfxxxfxBAEx，当10x时，AB逐渐趋于红线1AB；从平面yoz的角度看线AD的斜率是0012202(,)()tanfxxxfxDAGx，当20x时，AD逐渐趋于红线1AD，线1AB和线1AD组成的平面111ABCD是点A的切平面.则线1AB和线1AD点A在x轴和y轴的方向的切线，在相应平面上斜率分别是12001120101001220102(,)()tanlim,(,)()tanlim.xxfxxxfxBAExfxxxfxDAGx则二元函数导数的几何意义是函数在某点处的关于x轴和y轴的偏导数组成的向量.定义1.3（n元函数的可微性）nD是开集，1:fD，000012(,,,)nxxxxD如果函数增量可表示为00001212000000112212011221201200()()(,,)(,,,)(,,,)(,,,)(||)(,,,)(||)()(||),nnnnnnnnnyfxfxfxxxfxxxfxxxxxxfxxxAxAxAxoxxxxAAAoxxxAxxoxx其中12,,,nAAA是只依赖于0x的常数，021||()niixxx，则称f在0x点可微（可导），称1122nnAxAxAx为f在0x处的全微分.此时60,1,2,,iixxfAinx那么01122nnxxfxAfAxAAfx，称向量A为f在0x处的“梯度”，或者称“导数”，记作0()()fx，或0()fx.由于多元函数的几何意义无法在有限的三维空间进行展示，因此在这里不讨论多元函数的几何意义.如果函数本身是一个向量函数，如:nmf，向量函数f的形式如下1112221212()(,,,)()(,,,)()(,,,)nnmmnfxfxxxfxfxxxffxfxxx.定义1.4（向量函数的可微性）nD是开集，0xD，:mfD.如果存在只依赖于0x的线性变换A，使得当0()xxD时，有000()()()(||||)fxfxAxxoxx其中线性变换A是一个mn的矩阵，则称向量函数f在0x处可微（可导），称0()Axx是f在0x的全微分，称A为f在0x的导数，记作0()()Dfx.线性变换A具体形式为0111122221212nnmmmnxxfffxxxfffxxxAfffxxx72.算子的Frechet导数关于函数的微分与导数的概念可以平行地推广到抽象空间之间的算子,同样利用极限形式，在局部用线性算子代替非线性算子.因为任意有限维（n维）空间都与某个n等距同构.所以，这种推广实际上针对的是无穷维空间及其上的算子.设,,XYZ都是Banach空间，DX是开集，:fDY是一映射，(,)LXY是X到Y上所有有界线性算子的全体.定义2.1（Frechet导数）设0xD，0()xxD,如果存在(,)ALXY使得000()()()()YXfxfxAxxoxx.那么，称f在0x点Frechet可微.称A为f在0x点的Frechet导数，简称F导数，记为0()Afx.称000()()()Axxfxxx为f在0x点Frechet微分.如果f在D的每一点都可微，那么:(,)fDLXY如果f在0x点连续，那么f在0x点连续可微.如果f在D的每一个点都连续，那么f在D上连续可微，记为1(,)fCDY.由定义2.1可以看出，F可微退回到有限维时就是多元函数在某一点的可微性，F导数就是定义在定义1.4中定义的导数.函数的方向导数定义2.2（一元函数的导数）一元函数只有左右两个方向，所以方向导数只包括左导数与右导数：00'000'000()()()lim()()()lim.xxxxfxfxfxxxfxfxfxxx定义2.3（n元函数的方向导数）nD是开集，1:fD，点000012(,,,)nxxxxD，l是从点0x出发的射线，x是l上且包含在D内的任意一点，设0xx.若极限000()()limlimlffxfx8存在，则此极限为f在0x点沿方向l的方向导数，记作0xxfl或0()lfx当方向可微时，方向导数可由偏导数表示若f在0x点可微，则f在0x点沿任意方向l的方向导数存在，且000012121212()()||||coscos,,coscoscoscosxxnxxnnnxxflfxllfffxxxfffxxx其中1cos,,cosn为l的方向余弦，即方向l在各个方向上的单位分量.定义2.4（向量函数的方向导数）nD是开集，:mfD，0xD，l是从点0x出发的射线，x是l上且包含在D内的任意一点，设0xx.若极限存在，则称此极限为f在0x点沿任意方向l的方向导数，记作0xxfl或0()lfx当方向可微时，方向导数可由偏导数表示若f在0x点可微，则f在0x点沿任意方向l的方向导数存在，且000||||||()()||limlimlffxfx90000111111111111()()||||,,coscos,,coscoscoscosxxnmmnnxxnnmmnnxxmflDfxllffxxffxxffxxffxxflfl0.xx3.算子的Gateaux导数定义3.1（Gateaux导数）设0xD，如果对任意的hX，存在0d(,)fxhY，使得000()()d(,)()Yfxthfxtfxhot，当0t时，0xthD，则称f在0x点Gateaux可微，简称G可微，称0d(,)fxh是f在0x点的Gateaux导数，或者称G导数.注意事项（1）在多元函数中，定义方向导数只对某一特定方向存在极限，此极限就称为函数在该点沿某方向的方向导数.而对于G导数，定义3.1中要对任意的”方向”hX都成立，所以,此定义退化到多元函数时，就是说沿任意方向的方向导数存在,因而定义中用0t，对于有限维时用的是0t.虽然定义说了各方向的方向导数都存在，但数值仍跟方向h有关,也就是说各方向的方向导数未必是相同的.（2）G导数的定义方式：令0()()gtfxth.如果f在0x点Gateaux可微，则有G导数10000000()()dd()(0)()limdttfxthfxfxthgfxthtt，这是郭大钧书中的定义方式.（3）G导数的性质：如果f在0x点Gateaux可微，则0d(,)fxh唯一确定；00d(,)d(,)fxhfxh；如果f在0x点Gateaux可微，则对任意的,hXyY，函数0(),()tyfxth在0t右可微，且'0(0),d(,)tdyfxh.如果f在线段0:[0,1]xtht上每一点都Gateaux可微，则函数()t在[0,1]上可微，且0(),d(,)tyfxthh.如果f在0x点F可微，那么f在0x点G可微，且00d(,)()fxhfxhhX.设:fDY是G可微的，且对任意的xD，存在()(,)AxLXY满足d(,)()fxhAxhhX.如果映射:()AxAx，在0x点连续，则f在0x点F可微，且00()()fxAx.1101x02xBA011xx022xxxyz0.910GFECD1B1C1D0.91