函数的连续性习题.

第十节、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用最值概念设f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I，使得对任一x∈I，恒有00()()()()fxfxfxfx则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）.注(1)最大值可以等于最小值(2)函数在区间I上可能取不到最值在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.定理几何意义abxoy12定理的条件是重要的注例y=x在(1,2)内xoy1221311101xxxxxy在[0,2]上xoy12（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)·f(b)0)，则在开区间(a,b)内至少有一点ξ使f(ξ)=0.定理几何意义如果连续曲线弧y=f(x)的两个端点位于x轴的不同侧，那么这段曲线弧与x轴至少有一个交点.xoyabξ如果x0使f(x0)=0，那么x0称为函数f(x)的零点.（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(aξb)定理几何意义Abxoya)(xfyBC连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少相交于一点.推论在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的值域为闭区间[m,M],其中m与M依次为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值.（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用例例01423xx证明方程有一个实根.在区间(0,1)内至少),(若f(x)在内连续,且)(limxfx存在,则内有界.f(x)在),(函数的连续性习题课一、内容小结二、题型练习函数的连续性习题课一、内容小结二、题型练习连续的概念定义注意优点yx0lim0)]()([lim000xfxxfx是变量x直观、便于分析)(lim0xfxx)(lim0xfxx)(0xf左连续右连续三个要点便于应用自然、,00当||0xx时|)()(|0xfxfx可以等于0x清晰、便于论证间断的概念与分类概念在处没有定义)(xf0x在处有定义)(xf0x)(lim0xfxx存在在处有定义)(xf0x)(lim0xfxx不存在但)()(lim00xfxfxx但分类间断点和)(0xf)(0xf都存在第一类间断点和)(0xf)(0xf至少一个不存在第二类间断点)()(00xfxf可去间断点)()(00xfxf跳跃间断点无穷间断点振荡间断点初等函数的连续性基本初等函数在定义域内连续连续函数经过复合运算仍连续连续函数经过四则运算仍连续初等函数在其定义区间内连续闭区间上连续函数的性质有界性与最大值最小值定理零点定理与介值定理函数的连续性习题课一、内容小结二、题型练习函数的连续性习题课一、内容小结二、题型练习二、题型练习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题二、题型练习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题(1)(6)(2))(xf在0x处连续，)(xf在0x处也连续.(3))(xf在0x处连续，)(xg在0x处不连续)()(xgxf在0x处一定不连续.(4))(xf在0x处不连续，)(xg在0x处不连续)()(xgxf在0x处一定不连续.)(xf在ba,上不连续，则)(xf在ba,上无界(5)一切初等函数在其定义域内连续.例1判断下列说法的正确性)(xf在0x处连续，在0x处也连续.|)(|xf二、题型练习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题二、题型练习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题找间断点初等函数分段函数无定义的点分段点（嫌疑）判类型求极限求连续区间有定义的开区间讨论分段点的连续性合并间断点间断点无定义的点思路例2xxxxxf111111)(确定下列函数的间断点,判断类型,并求连续区间讨论全面xxxxxf)(sin)()(112讨论左右极限1()lnfxxx=0也是间断点(1)(2)(3)011sin)1ln(0sin)(23xxxxxxxxf1112cos)(xxxxxf补1010sin)(xxxxxf确定下列函数的间断点,判断类型,并求连续区间xxf1arctan)(xxxf2tan)(1212)(11xxxf(4)(5)(1)(2)(3)(4)二、题型练习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题二、题型练习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题例3确定常数a,b使函数011ln1010cos1sin)(xbxxxxxaxxf在x=0处连续.补2确定常数a,b使函数1000111)21ln()(2xbxxaxxxxxf在x=0处连续.例4设11xxaxxf)(002xxxbxg)(确定a,b使)()(xgxf在),(内连续.例5设21)(,lim)(xxgnnnnxfxxxxn讨论复合函数)]([xgf在内的连续性.及)]([xfg),(例6讨论nnnnnxxxxxf2lim)(的连续性.例7补3讨论xxxxxfnnnn112121lim)(的连续性.设,1lim)(2212nnnxbxaxxxf确定常数a,b使)(xf在内连续.),(二、题型练习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题二、题型练习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题例8例9设bxaeaxf1)(a,b为常数确定常数a,b的正负并求lim().xfx,0)(limxfx在内连续,),(且有无穷间断点设)()(1xxaexfx0x及可去间断点试求常数a的值.,1x二、题型练习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题二、题型练习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题(五)证明题1．连续的概念2．闭区间上连续函数的性质(五)证明题1．连续的概念2．闭区间上连续函数的性质例10例11补4设xexf)(在0x处连续,证明)(xf在内连续.),()()()(R,212121xfxfxxfxx设)(xf在0x处连续,证明)(xf在内连续.),(在)(xf)()()(R,212121xfxfxxfxx设0x处连续,证明)(xf在内连续.),((五)证明题1．连续的概念2．闭区间上连续函数的性质(五)证明题1．连续的概念2．闭区间上连续函数的性质2．闭区间上连续函数性质（1）有界性与最值性（2）零点定理（3）介值定理2．闭区间上连续函数性质（1）有界性与最值性（2）零点定理（3）介值定理例12补5证明BxfAxfbxax)(lim,)(lim设)(xf在内连续,)(xf在),(ba内有界.),(ba设)(xf在内连续,),(aBxfAxfxax)(lim,)(lim证明)(xf在),(a内有界.2．闭区间上连续函数性质（1）有界性与最值性（2）零点定理（3）介值定理2．闭区间上连续函数性质（1）有界性与最值性（2）零点定理（3）介值定理（2）零点定理例13证明01xxsin在22,内至少有一个实根.例14证明奇次多项式)()(001221120aaxaxaxpnnn至少有一个实根.方程根的存在性（2）零点定理构造辅助函数例15例16补6设)(xf在]2,0[a证明上连续,)()(aff20()()fxfxa在上至少有一个实根.],0[a设为连续函数，其定义域和值域都是证明存在],,[ba使.)(f)(xf],[ba)()(),()(bgbfagaf设)(),(xgxf上的两个连续函数，是证明存在),,(0bax使00()().fxgx],[ba2．闭区间上连续函数性质（1）有界性与最值性（2）零点定理（3）介值定理2．闭区间上连续函数性质（1）有界性与最值性（2）零点定理（3）介值定理例17设在证明存在上连续,],[,,21baxxxn使得)()()()(nnxfxfxff22111,0,,,2121nn)(xf],[ba],,[ba作业：P702,3,P729(2)(4)(6)(8),11