函数迭代中的”穿脱”技巧

函数迭代中的”穿脱”技巧设函数y=f(x),并记fn(x)=f(f(f…(fx)…),其中n是正整数,fn(x)叫做函数f(x)的n次迭代,函数迭代是一种特殊的函数复合形式,在现代数学中占有很重要的地位,尤其是近年来在国内外数学竞赛屡次出现,成为热点问题之一,以引起广在数学爱好者的关注.由f(x)(或fn(x)的表达式”穿上”或”脱去”n-1个函数符号得出fn(x)(或f(x))的函数迭代问题,这里我们对数学竞赛中穿脱问题的解题技巧作简单介绍和粗浅的探索.1程序化穿脱“穿”,”脱”函数符号是一种有序的过程,由内至外一层层穿上f,或从外至内一层层脱去f,往往是一种程序化的模式,例已知f(x)=21xx,求fn(x).2实验法穿脱许多情况下,求解穿脱问题并非只是一种程序化的操作,还需要用敏锐的思维和眼光去发现穿脱过程所蕴含的规律性,实验是发现的源泉,是发现规律的金钥匙.例函数定义在整数集上,且满足f(n)=n-3(n≥1000)f[f(n+5)](n＜1000求f(84)例21对任意的正整数k,令f1(k)定义为k的各位数字和的平方.对于n≥2令fn(k)=f1(fn-1(k)),求f1988(11).3周期性穿脱在求解函数迭代问题时我们经常要借助于函数的周期性,利用周期性穿脱要能达到进退自如,做到需穿插则穿,需脱则脱,从而优化解题过程.例定义域为正整数的函数,满足:f(n)=n-3(n≥1000)f[f(n+7)](n＜1000.试求f(90)练习1.设n是自然数,f(n)为n2+1(十进制)的数字之和,f1(n)=f(n),求的f100(1990)值.2.已知f(x)=112xx.设f35(x)=f5(x),求f28(x).例4．求函数232xxxy的值域。0232322xyxxxxxy两边平方得2)32(2yxy，从而23y且3222yyx。由23103223032222yyyyyyyxy或y≥2。任取y≥2，由3222yyx，易知x≥2，于是0232xx。任取231y，同样由3222yyx，易知x≤1。于是0232xx。因此，所求函数的值域为),2[)23,1[。例5（1）设x,y是实数，且满足1)1(2004)1(1)1(2004)1(33yyxx，求x+y的值若方程0)sin(cos222axax有唯一解，求a例6：解方程、不等式：（1）2log(231)5xx（2）(x＋8)2007＋x2007＋2x＋8＝0（3）2323(2038)415284xxxxxEx1.求22(31)(9651)(23)(412131)yxxxxxx的图象与x轴交点坐标。解：22(31)((31)41)(23)((23)41)yxxxx令2()(41)fttt，可知()ft是奇函数，且严格单调，所以(31)(23)yfxfx，当0y时，(31)(23)(32)fxfxfx，所以3132xx，故45x，即图象和x轴交点坐标为4(,0)5若函数()fx为单调的奇函数，且12()()0fxfx，则120xx。若遇两个式子结构相同，不妨依此构造函数，若刚好函数能满足上述性质，则可解之。Ex2.设函数)1(log)(223xxxxf，则对任意实数a,b,0ba是0)()(bfaf的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件探求讨论函数的有关性质，历年来都是数学竞赛的命题热点之一，例如探求函数的周期性，函数的不等式证明，以及解反函数的不等式等问题。而解决这类问题的办法就是要“穿脱”函数符号“f”，下面我们从具体的例子谈一谈“穿脱”的技巧与方法.1.单调性穿脱法对于特殊函数的单调性,我们可以根据函数值相等或函数的单调性对函数“f”进行“穿脱”,进而达到化简的目的,由此使问题获得解答.已知函数f(x)在区间(-,+)上是增函数,a和b是实数.试证:⑴证明命题:如果a+b≥0那么f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).⑵判断⑴中的逆命题是否正确,并证明你的结论.2反函数穿脱法灵活自如地处理原函数f(x)与反函数f-1(x),并能熟练地运用f-1(f(x))=x,f(f-1(x))=x进行穿脱函数符号“f”，这是极为常用而又重要的方法.引理若f(x),g(x)互为反函数,且f(a+b)=f(a)f(b),则g(mn)=g(m)+g(n)例已知函数f(x)满足:①f(21)=1;②函数的值域为[-1,1];③严格递减;④f(xy)=f(x)+f(y).试求:⑴求证:41不在f(x)的定义域内⑵求不等式f-1(x)f-1(x11)≤21的解集3定义探求法在求解有关函数方程的问题时,我们经常会遇到要证明某函数为周期性函数,此时我们一般采用周期函数的定义来求解,探求函数的有关性质.例设a0,f(x)是定义在实数集上的一个实值函数,且对每一实数x,有f(x+a)=21+2)]([)(xfxf⑴证明:f(x)是周期函数;⑵对a=1,具体给出一个这样的非常数的函数f(x)例7．设1a，,a均为实数，试求当变化时，函数sin1)sin4)(sin(ay的最小值。例8．设()fx是定义在Z上的一个实值函数，()fx满足()()2()()(1)0fxyfxyfxfyf①②，求证：()fx是周期为4的周期函数。例9．已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－)x(f1)x(f1,求证f(x)是周期函数三、练习1．集合M由满足如下条件的函数fx组成：当12,1,1xx时，有12124fxfxxx，对于两个函数2125,fxxx2fxx，以下关系中成立的是（）12.,;AfMfM12.,;BfMfM12.,;CfMfM12.,;DfMfM2．设xx＝xf11)(，记1fxfx，若，xffxfnn))(()(1则＝xf)(2006（）A、xB、-x1C、xx11D、11xx3．若(log23)x(log53)x≥(log23)y(log53)y，则()(A)xy≥0(B)x+y≥0(C)xy≤0(D)x+y≤04．定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为()A.150B.2303C.152D.23055．已知4sin)(3xbxaxf（a、b；实数）且5)10log(lg3f，则)3lg(lgf的值是（）（A）5（B）3（C）3（D）随a、b取不同值而取不同值6．函数2|2|)1lg()(2xxxf的奇偶性是:A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.不是奇函数又不是偶函数7．已知函数21log2xaxxfa在[1,2]上恒正，则实数a的取值范围是()（A）85,21（B）,23（C）,2385,21（D）,218．函数3123fxxx的值域为（）3.1,2.1,3C.1,D.1,22AB9．给定实数x，定义[]x为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的序号是（）[]0[]1()[]()[]xxxxfxxxfxxx①②③是周期函数④是偶函数10．函数])10,10[(,3sin10)(3xxxxxf，则)()(maxminxfxf11。实数x，y满足x2＝2xsin(xy)－1，则x2006＋6sin5y＝______________12．方程ln(12x＋x)＋ln(142x＋2x)＋3x＝0的解集是13．.已知Rayx],4,4[,,且0cossin402sin33ayyyaxx，则)2cos(yx=14．下列说法正确的是（1）函数)(xafy与)(xafy关于直线ax对称；（2）函数)(xafy与)(xafy关于y轴对称；（3）若函数)(xf满足)(xaf=)(xaf，则)(xf关于直线ax对称；（4）若函数)(xf满足)(xaf=)(xaf，则)(xf关于y轴对称15．若函数()fx的定义域为R，且对于x的任意值都有(2005)(2004)(2006)fxfxfx，则函数()fx的周期为__________。16．设方程03log3xx的根为1x,方程033xx的根为2x,则21xx=17．函数}42,2,14min{)(xxxxf，则)(maxxf18．设221,1,{log2,log,log(8)}xyxySyx则S的最大值为19．设函数2)()(,1)()(,)(12010xfxfxfxfxxf，求函数)(2xfy的图象与x轴所围成的封闭部分的面积．20．k为何实数时，方程kxx322有四个互不相等的实数根．21．(1)若函数满足)()(xafxaf，求证()fx的图像就关于直线xa对称(2)函数cxxxxxf23442)(的图像关于某条垂直于x轴的直线对称，求实数c的值22．已知121),1(2210,21)(xxxxxf，定义*,)))((()(Nnxfffxfnn个（１）求)152(2001f（２）设]1,0[,)(|15xxxfxB，求证：B中至少含有9个元素．函数)(xf的定义域关于原点对称，但不包括数0，对定义域中的任何实数x，在定义域中存在21,xx，使得)()(,2121xfxfxxx，且满足以下三个条件：（１）21,xx是定义域中的数，)()(21xfxf或axx2021，则)()(1)()()(122121xfxfxfxfxxf；（２）1)(af（a是一个正常数）；（３）当ax20时，0)(xf．求证：（１）)(xf是奇函数；（２）)(xf是周期函数，并求出其周期；（３）)(xf在)4,0(a内为减函数．