函数逼近的几种算法及其应用

函数逼近的几种算法及其应用摘要在自然科学与技术科学领域中存在着大量的需要解决的非线性问题.近年来人们在数值与函数逼近问题以及计算机辅助几何设计的研究中取得了一系列深刻的结果．随着高性能、大容量计算机的出现，使得过去难以实现的问题变为可能，所以关于函数逼近的理论研究和应用有着巨大的发展潜力．本课设中共有两章，第一章介绍了函数逼近的产生及研究意义，基础知识，最佳平方逼近法，曲线拟合的最小二乘法，有理逼近，三角多项式逼近的算法的几种函数比较方式.第二章从函数逼近的应用角度，详细介绍了有理函数逼近在数值优化中的应用和泰勒级数判定迭代法的收敛速度，以及几种函数逼近的计算实例.关键词最佳平方逼近法；曲线拟合的最小二乘法；有理逼近；三角多项式逼近；帕徳逼近目录引言..................................................................1第一章函数逼近......................................................2§1.1函数逼近的产生背景及研究意义..................................2§1.2基础知识......................................................3§1.2.1函数逼近与函数空间......................................3§1.2.2范数与赋范空间..........................................4§1.3最佳平方逼近..................................................5§1.3.1最佳平方逼近及其计算....................................5§1.3.2用正交函数组作最佳平方逼近..............................6§1.4有理逼近......................................................8§1.4.1有理逼近的定义及构造....................................8§1.4.2有理插值函数的存在性....................................9§1.4.3有理插值函数的唯一性...................................10§1.4.4几种常见的有理逼近.....................................11§1.5三角多项式逼近与多项式逼近...................................12§1.5.1三角多项式逼近.........................................12§1.5.2傅里叶级数的一致收敛性.................................12§1.5.3以2π为周期的连续函数的三角多项式逼近..................13§1.5.4[0,π]上连续函数的三角多项式逼近.......................14§1.5.5闭区间上连续函数的三角多项式逼近.......................14§1.5.6闭区间上连续函数的多项式逼近...........................15§1.6其他函数逼近.................................................15§1.6.1曲线拟合的最小二乘法...................................15§1.6.2泰勒级数...............................................16第二章函数逼近应用.................................................18§2.1有理逼近在数值优化中的应用...................................18§2.1.1直线搜索方法...........................................18§2.1.2计算方法...............................................19§2.1.3计算实例...............................................19§2.2各种泰勒级数判定迭代法的收敛速度.............................20§2.3各种函数逼近的计算实例.......................................21§2.3.1最佳平方逼近多项式计算实例.............................21§2.3.2曲线拟合的最小二乘法计算实例...........................22§2.3.3帕德逼近的计算实例.....................................23参考文献.............................................................241引言函数逼近是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题．在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g，使它是已知函数ƒ在一定意义下的近似表示，并求出用g近似表示ƒ而产生的误差．这就是函数逼近问题．在函数逼近问题中,用来逼近已知函数ƒ的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了,在该类函数中用作ƒ的近似表示的函数g的确定方式仍然是各式各样的;g对ƒ的近似程度（误差）也可以有各种不同的含义．所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富．给定函数)(xf，用来逼近)(xf的函数一般要在某个较简单的函数类中找，这种函数类叫做逼近函数类．逼近函数类可以有多种选择．2第一章函数逼近§1.1函数逼近的产生背景及研究意义从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶、J.-V．彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题．这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的．在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法．切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函数类是n次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元的特征定理．他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题,得到了许多重要结果．1885年德国数学家K．（T.W．）魏尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示．虽然没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好，但仍可以说切比雪夫和魏尔斯特拉斯是逼近论的现代发展的奠基者．在自然科学与科学技术领域中存在着大量的需要解决的非线性问题．近年来人们在数值与函数逼近问题以及计算机辅助几何设计的研究中取得了一系列深刻的结果．随着高性能、大容量计算机的出现，使得过去难以实现的问题变为可能，所以关于函数逼近的理论研究和应用有着巨大的发展潜力．我们举一个例子，如x1ln有如（1-1）式的分式展开．524221211)1(2222xxxxxxIn（1-1）取第n级渐近分式，即可得到x1ln的有理逼近式xRn．一般地，xRn是x1ln的[n/n]帕徳逼近,它的展开式将含有x1ln的Taylor展开式前2n项的和xTn2，并且xRn与xTn2的独立参数个数相同．记R与T分别表示xRn与xTn2的逼近误差，并取x=1．两种逼近的计算结果与误差对比如表1．表1-1x1ln的[n/n]帕徳逼近与2n阶Taylor多项式逼近比较nRn(1)RS2n(1)T10.6670.2610-10．50．1920．692310．8410-30．580．1130．6931220．2510-40．6170．7610-140．693146420．7610-60．6340．5810--23由表1-1可知，R4(1)比T8(1)的精确度高几乎105倍．这就说明开展某些函数的有理逼近或一般非线性逼近问题的研究是十分必要的．随着科学技术的不断发展，函数逼近方法已在实际应用中显示出巨大的优势和开发潜力．§1.2基础知识§1.2.1函数逼近与函数空间在数值计算中经常要计算函数值，如计算机上计算基本初等函数及其他特殊函数．这些都涉及到用多项式、有理分式或分段多项式等便于在计算机上计算的简单函数逼近已给函数，使它达到精度要求而且计算量尽量小．数值逼近是数值计算中最基本的问题．为了在数学上描述更精确，下面先介绍一些基本概念及预备知识．数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间．例如，在“线性代数”中将所有实n组成的，按向量加法及向量与数的乘法构成实数域上的线性空间记作nR，称为n维向量空间．类似地，对次数不超过n的实系数多项式全体，按通常多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R上的一个线性空间，用nH表示，称为多项式空间．又如所有定义在区间],[ba上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域R上的线性空间，记作],[baC称为函数空间．定义1.1设集合S是数域P上的线性空间，Sxxn,...,1，如果存在不全为零的数Paan,...,1使得0...2211nnxaxaxa（1-2）则称nxx,,1是线性相关的；否则，若等式（1-2）只对021naaa成立，则称nxx,,1是线性无关的．若S是由n个线性无关元素nxx,,1生成的，即Sx都nnxaxax11，则称nxx,,1是S的一组基，记作}{1nxxspanS，并称S是n维的．下面考察次数不超过n的多项式集合nH，其元素nnnxaxaaxp10)(是由1n个系数（naaa10,）唯一确定的，nxx,1，线性无关，nH=span{nxx,,,1}，（naaa,,,10）是)(xpn的坐标向量，故nH是1n维的．对连续函数],[)(baCxf不能用有限个线性无关的函数表示，故],[baC是无限维的，但)(xf可用有限维的多项式空间nH的元素)(xp逼近，使误差)()(maxxpxfbxa（任何给定的正数），这就是著名的维尔斯特拉斯定理．4定理1.1设],[)(baCxf，则对)(,0xpnnH使得)()(xpxf在],[ba上一致成立．1912年伯恩斯坦构造了一个多项式0(,)()(1)nnknknkkkBfxfCxxn其中(1)(1)!nknnnkCk为二项式展开系数，并证明了lim(,)nxBfx在[0,1]上一致成立，若()fx在[0,1]上m阶可导则还有()()lim(,)()mmnxBfxfx．这也从理论上给出了定理1．1的证明．§1.2.2范数与赋范空间为了在线性空间中衡量元素的大小，可将在nR空间的范数定义推广到一般线性空间S．定义1.2设Sf,若存在唯一实数，满足条件1．0f当且仅当0f时0f；2．Rafaaf,;3．Sgfgfgf,,;则称为线性空间S上的范数．在线性空间S上定义了范数，称为赋范线性空间，记为X．例如，在nR上的向量Tnxxx)(,1的三种常用范数为inixx1max，称-范数或最大范数；niixx11，称为1-范数；21