函数零点问题MicrosoftWord文档2

1江苏高考中的函数零点问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，函数的零点问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到基本初等函数的图象，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分。根据函数零点的定义：对于函数))((Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数))((Dxxfy的零点。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点的横坐标函数)(xfy有零点。围绕三者之间的关系，在高考数学中函数零点的题型主要①函数的零点的分布；②函数的零点的个数问题；③利用导数结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题。下面我就以近三年江苏高考试题为例加以剖析：类型一：函数零点的分布例1：设函数1()ln(0),3fxxxx则()yfxA在区间1(,1),(1,)ee内均有零点。B在区间1(,1),(1,)ee内均无零点。C在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e内无零点。D在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e内有零点。解析：解决零点的分布问题，主要依据零点的存在性定理：如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0.bfaf，那么函数)(xfy在区间),(ba内有零点。既存在),(bac，使得0)(cf，这个c也就是方程的根。由题得0131)1(,013,31)1(eefeeff，所以xf在e,1又xxxxf33131)`(，令0)`(xf得3x；令0)`(xf得30x；，故知函数)(xf在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(为增函数，所以)(xfy在区间1,1e内无零点，故选择D。变式：函数xxxf9lg的零点所在的大致区间是（）A2,1B5,2C10,5D,10由零点的存在性定理：我们只需求得091f，0292lg2f，0595lg5f，0109110910lg10f，故选C.类型二：函数零点的个数2例2：若函数f(x)=ax-x-a(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.解析：根据函数的零点与方程的根、函数图像三者之间的关系：方程0)(xf的实数根函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标函数)(xfy的零点。我们可将上述函数的零点转换成两个函数的图像的交点个数问题。即：,由图象可知当10a时,当1a时,因为函数(1)xyaa的图象过点(0,1),而直线yxa所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是}1|{aa.我们可将方法简单总结如下：1、构造函数（依据：构造的两个函数我们能准确的做出它的图像）设函数(0,xyaa且1}a和函数yxa,则函数f(x)=ax-x-a(a0且a1)有两个零点,就是函数(0,xyaa且1}a与函数yxa有两个交点2、通过图像描绘题意：3、依图得条件——将形转化成数当10a时(如图1),两函数只有一个交点,不符合；当1a时（如图2）,因为函数(1)xyaa的图象过点(0,1),而直线yxa所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是}1|{aa.变式：方程223xx的实数解的个数为.解析：由上述方法我们可将方程转化成3)21(2xx的解的个数，令3,212xxgxfx从而将原题转化成函数xgyxfy,的交点个数，如图所示：由图可知，原方程有2个解。类型三：两个函数图像的交点例3：已知函数3()31,0fxxaxa，若()fx在1x处取得极值，直线y=m与()yfx的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解析：因为()fx在1x处取得极大值，xy01xy01xy0313所以'2(1)3(1)30,1.faa所以133xxxf令mxxmxfxh133则332xxh，由'()0fx解得121,1xx。则xhxhx,,的变化如下表：x1,1)1,1(1,1xh+0-0+xh单增极大值单减极小值单增当x时，xf；当x时，xf由上表可作出函数的草图：由图像知，若直线y=m与()yfx的图象有三个不同的交点则：0310231mhmh解得：13m变式：（1）若有两个交点呢？则：031011mhmh或031011mhmh（2）若有一个交点呢？0310231mhmh或0310231mhmh因此，函数图像xgyxfy,的交点个数问题及方程根的个数问题可转化成函数的零点问题，步骤如下：1、构造函数：xgxfxh；2、求极值；3、作图；4、依图通过极值列条件上述例子剖析了近三年江苏数学高考中函数零点问题的题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的不同，但其实质却都与求函数的零点是等价的，这也正体现了数学中的“统一美”。x0y1-1x0y1-1x0y1-14刍议函数零点问题的常见解题策略袁琳在新课标中，零点问题是函数中的重要内容，也是高考的常考知识。教材概述零点问题时，给零点赋以“形”“数”双色，它不仅拓展了知识理解的深度，而且提升了问题解答的宽度。近几年的高考中，零点问题不仅呈现于客观题中，考查考生的对零点问题的基础知识与基本技能的理解与掌握，而且参透于主观题中，与其它知识交汇对接，与导数的应用前呼后唱，考查考生的综合思维能力。因该类题型结构相异、变化多端，故解法各有千秋，本文从函数零点的定义、定理、数形结合、基本构造等角度，探讨函数零点问题的常见解题策略，以读者参考。【策略一】定义为据方程为本对于函数()yfx，我们把使()0fx的实数x叫做函数()yfx的零点。因此，该策略就是将函数的零点问题转化为方程()0fx问题来解答。典例：（2012·湖北高考）函数2()cosfxxx在区间[0,4]上的零点个数为（）A．4B．5C．6D．7思路点拨：先构建方程2cos0xx，再求方程的解，方程解的个数即函数零点的个数。对于解0cos2x是解题的难点，应以整体为思想，得Zkkx,22，并通过给kZ赋值，验证[0,4]x是否成立来确定方程所有解的个数。解析：令0)(xf，则0x或0cos2x，由0cos2x得Zkkx,22，∵4,0x，∴4,3,2,1,0k，∴方程()0fx共有6个解，即函数()fx共有6个零点。故正确答案为C。点评：该法是解答函数零点问题的最基础、最直接的方法。它不仅刻画了零点概念的内含，又体现了数学转化思想。但此法解题有其局限性，对于较难求方程()0fx解的题型不宜运用。策略二数形结合点点互化函数()yfx的零点，即就是函数()yfx的图像与x轴的交点的横坐标。因此，求函数的零点问题可转化为函数()yfx图像与x轴的交点的横坐标即可，或将方程()0fx整理成12()()fxfx的形式，然后在同时直角坐标系下，画出两函数12(),()yfxyfx的图像，交点的横坐标即为函数()fx的零点，交点的个数即为函数()fx的零点个数。典例：（2013·天津高考）函数0.5()2|log|1xfxx的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4思路点拨：由()0fx整理得0.51log2xx,同一坐标系下,作出0.51log,2xyxy的图像,观察两函数图像的交点的个数即可.解析:令0.51log,2xyxy,两函数的图像如图所示,观察图像可知两图像有两个不同的交点,所以函数()fx有两个零点，故正确答案为B.点评:图像法解题是一个数与形转换的思维过程，在转化中往往把问题化繁杂为简单，化抽象为具体。在解题中，若遇到函数形式复杂难为作图时，则不防先适当的整理表达式，一般所涉及的函数要能作出其图像为整理要求。接着在同一坐标系下，规范作图。然后确定交点的位置或个数，特别在部分区间上是否存在交点，要细心对待，有时还需计算相关的函数值（函数值的趋向）来确定是否有交点。策略三尊守定理把守异号如果函数()yfx在区间,ab上的图像是连续不断地一条曲线，并且有()()0fafb，那么函数()yfx在区间(,)ab内有零点。即存在(,)cab，使得()0fc。通常将此论述称为零点存在性定理。因此，该解题策略就是将函数零点分布问题转化为判断不等式()()0fafb是否成立。典例：（2013·重庆高考）若abc,则函数fxxaxbxbxcxcxa的两个零点分别位于区间()A.,ab和,bc内B.,a和,ab内C.,bc和,c内D.,a和,c内思路点拨：解题的突破口为判断,,abc的函数值正负符号，进而判断(),(),()fafbfc两两乘积是否小于零。若小于零，则在对应的区间上必存在零点。5解析：()()()faabac，()()()fbbcba，()()()fccacb，∵abc，∴()0fa，()0fb，()0fc，即()()0fafb，()()0fbfc，又∵()fx在R上是连续函数，∴两零点分别位于区间(,)ab、(,)bc内。故正确答案为A.点评：若函数()fx在[,]ab上连续，则()()0fafb是函数()fx在(,)ab上存在零点的充分不必要条件。如本题中，函数()fx在(,)ac内存在零点，但并非是()()0fafc，而是()()0fafc。策略四借用单调争辩唯一如果函数()yfx在区间,ab上的图像是连续不断地一条具有单调性曲线，并且有()()0fafb，那么函数()yfx在区间(,)ab内有唯一的零点。即存在唯一的(,)cab，使得()0fc。通常将此论述称为零点唯一性定理。因此，该策略解题需要考虑两个条件：条件一是()()0fafb是否成立；条件二是函数是否具有单调性。典例：(2012·陕西高考)设函数()1()nnfxxxnN（1）设2n，证明：()nfx在区间1,12内存在唯一的零点；（2）在（1）的条件下，设nx是()nfx在1,12内的零点，判断数列23,,,nxxx的增减性。思路点拨：（1）的证明应分两个步骤：一是由零点存在性定理来证零点的存在性；二是由函数的单调性来证零点的唯一性。（2）由函数1()nfx的零点界于(,1)nx内，得知1nnxx，进而判断数列单调性。解析：（1）()1nfxxx，∵111()(1)()10222nff，∴()fx在1(,1)2内存在零点，又∵函数()fx在1(,1)2内单调递增，∴()fx在1(,1)2内有唯一的零点。（2）设nx是()nfx在1,12内的唯一零点，则11111()(1)(1)(111)110nnnnnnnnnnnnnfxfxxxxxx，∴1()nfx的零点1nx在区间(,1)nx内，∴1(2)nnxxn，∴数列23,,,nxxx的增数列。点评：利用唯一性定理解答函数零点个数问题时，条件一、条件二应同时具备，缺一不可。若只有条件一，没有条件二，