十年高考试题

总题数：15题第1题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（全国Ⅰ卷）)题目设等差数列{an}的前n项和为Sn,公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn,已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求{an},{bn}的通项公式.答案分析:本题主要考查了等比数列,等差数列的通项公式及前n项和公式,以及运算求解能力.解:设{an}的公差为d,{bn}的公比为q.由a3+b3=17得1+2d+3q2=17,①由T3-S3=12得q2+q-d=4.②由①②及q＞0解得q=2,d=2.故所求的通项公式为an=2n-1,bn=3×2n-1.第2题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（全国Ⅱ卷）)题目已知等差数列{an}中,a3a7=-16,a4+a6=0,求{an}的前n项和Sn.答案分析：考查等差数列的基本性质及求和公式.解：设{an}的公差为d,则即解得或因此,Sn=-8n+n(n-1)=n(n-9),或Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9).第3题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（北京卷）)题目设数列{an}的通项公式为an=pn+q(n∈N*,p＞0).数列{bm}定义如下:对于正整数m,bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值.(1)若,,求b3;(2)若p=2,q=-1,求数列{bm}的前2m项和的公式;(3)是否存在p和q,使得bm=3m+2(m∈N*)?如果存在,求p和q的取值范围;如果不存在,请说明理由.答案分析:第(1)问即求解不等式.第(2)问由an≥m知可得(k∈N*).第(3)问属探讨性问题,通常要先假设存在,然后从假设和题意入手进行指导验证.解:(1)由题意得.解得.所以使得成立的所有n中的最小正整数为7,即b3=7.(2)由题意得an=2n-1.对正整数m,由an≥m得.根据bm的定义可知,当m=2k-1时,bm=k(k∈N*);当m=2k时,bm=k+1(k∈N*).所以b1+b2+…+b2m=(b1+b3+…+b2m-1)+(b2+b4+…+b2m)=(1+2+3+…+m)+［2+3+4+…+(m+1)］==m2+2m.(3)假设存在p,q满足条件,由不等式pn+q≥m及p＞0得.因为bm=3m+2(m∈N*),由bm的定义可知,对于任意的正整数m都有,即-2p-q≤(3p-1)m＜-p-q对任意的正整数m都成立.当3p-1＞0(或3p-1＜0)时,得(或),这与上述结论矛盾.当3p-1=0,即时,得.解得.(经检验符合题意)所以存在p和q,使得bm=3m+2(m∈N*);p和q的取值范围分别是,.第4题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（湖北卷）)题目已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式:(n为正整数),求数列{bn}的前n项和Sn.答案分析:本小题主要考查等差数列的定义、数列的通项公式、数列求和等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题的能力和推理能力.(1)解法一:设等差数列{an}的公差为d,则依题设d＞0.由a2+a7=16,得2a1+7d=16.①由a3·a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55.②由①得2a1=16-7d,将其代入②得(16-3d)(16+3d)=220,即256-9d2=220,∴d2=4.又d＞0,∴d=2,代入①得a1=1.∴an=1+(n-1)·2=2n-1.解法二:由等差数列的性质得a2+a7=a3+a6,∴由韦达定理知,a3、a6是方程x2-16x+55=0的根,解方程得x=5或x=11.设公差为d,则由a6=a3+3d,得.∵d＞0,∴a3=5,a6=11,,a1=a3-2d=5-4=1.故an=2n-1.(2)解法一:当n=1时,,∴b1=2.当n≥2时,,,两式相减得,∴bn=2n+1.因此当n=1时,S1=b1=2;当n≥2时,Sn=b1+b2+b3+…+bn=.∵当n=1时上式也成立,∴当n为正整数时都有Sn=2n+2-6.解法二:令,则有an=c1+c2+…+cn,an+1=c1+c2+…+cn+1,两式相减得an+1-an=cn+1,由(1)得a1=1,an+1-an=2.∴cn+1=2,cn=2(n≥2),即当n≥2时,bn=2n+1.又当n=1时,b1=2a1=2,∴于是Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+23+24+…+2n+1=2+22+23+24+…+2n+1-4=,即Sn=2n+2-6.第5题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（江西卷）)题目数列{an}的通项,其前n项和为Sn.(1)求Sn;(2)令,求数列{bn}的前n项和Tn.答案分析:①分步求和.②用错位相减法求和.解:(1)由于,故S3k=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+…+(a3k-2+a3k-1+a3k)==,S3k-1=S3k-a3k=,S3k-2=S3k-1-a3k-1=,故(k∈N*).(2),,,两式相减,得==,故.第6题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（陕西卷）)题目已知数列{an}满足a1=1,a2=2,,n∈N*.(1)令bn=an+1-an,证明{bn}是等比数列;(2)求{an}的通项公式.答案分析:第(1)问利用等比数列的定义(q≠0).第(2)问利用迭加法求通项an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1.解:(1)证明:b1=a2-a1=1,当n≥2时,bn=an+1-an=,∴{bn}是以1为首项,为公比的等比数列.(2)由(1)知bn=an+1-an=()n-1,当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+1+()+…+()n-2===,当n=1时,,∴(n∈N*).第7题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（全国Ⅰ）)题目在数列中，，．（Ⅰ）设．证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和．答案解：（Ⅰ）由已知又=1，因此是首项为1，公差为1的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知两边乘以2得两式相减得第8题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（天津卷）)题目已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0).(1)设bn=an+1-an(n∈N*),证明{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)若a3是a6与a9的等差中项,求q的值,并证明:对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.答案答案：本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.(1)证明:由题设an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2),得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n≥2.又b1=a2-a1=1,q≠0,所以{bn}是首项为1,公比为q的等比数列.(2)解:由(1),a2-a1=1,a3-a2=q,…an-an-1=qn-2(n≥2).将以上各式相加,得an-a1=1+q+…+qn-2(n≥2).所以当n≥2时,an=上式对n=1显然成立.(3)解:由(2),当q=1时,显然a3不是a6与a9的等差中项,故q≠1.由a3-a6=a9-a3可得q5-q2=q2-q8,由q≠0得q3-1=1-q6,①整理得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2或q3=1(舍去).于是q=.另一方面,an-an+3=,an+6-an=由①可得an-an+3=an+6-an,n∈N*.所以对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.第9题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（辽宁卷）)题目已知数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列,设cn=(n∈N*).(1)数列{cn}是否为等比数列?证明你的结论.(2)设数列{lnan},{lnbn}的前n项和分别为Sn,Tn.若a1=2,,求数列{cn}的前n项和.答案答案：本题主要考查等差数列、等比数列、对数等基础知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.解:(1){cn}是等比数列,证明:设{an}的公比为q1(q1＞0),{bn}的公比为q2(q2＞0),则,故{cn}为等比数列.(2)数列{lnan}和{lnbn}分别是公差为lnq1和lnq2的等差数列.由条件得,即故对n=1,2,…,(2lnq1-lnq2)n2+(4lna1-lnq1-2lnb1+lnq2)n+(2lna1-lnq1)=0.于是将a1=2代入得q1=4,q2=16,b1=8.从而有cn==4n.所以数列{cn}的前n项和为4+42+…+4n=(4n-1).第10题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（浙江卷）)题目已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn=，且x1，x4，x5成等差数列，求：（Ⅰ）p,q的值；(Ⅱ)数列{xn}前n项和Sn的公式。答案本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力。（Ⅰ）解：由p=1,q=1（Ⅱ）第11题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（福建卷）)题目已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn·bn+2＜。答案本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力.解法一：（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.故an=1+(a-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+…+2+1＝=2n-1.因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2·2n+1-1)=-5·2n+4·2n=-2n＜0,所以bn·bn+2＜b,解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为b2=1,bn·bn+2-b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b=2n+1·bn+1-2n·bn+1-2n·2n+1＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n〈0，所以bn·bn+2＜b2n+1第12题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（安徽卷）)题目设数列{an}满足a1=a,an+1=can+1-c,N*,其中a,c为实数，且c0.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设求数列｛bn｝的前n项和Sn;（Ⅲ）若0＜an＜1对任意N*成立，证明0＜c1.答案本题主要考查数列的概念，数列通项公式的求法以及不等式的证明等；考查运算能力，综合运用知识解决问题的能力.解(1)方法一：当时，是首项为，公比为的等比数列。，即。当时，仍满足上式。数列的通项公式为。方法二由题设得：n≥2时，时，也满足上式。数列的通项公式为。(2)由（1）得(3)证明：由（1）知若，则由对任意成立，知。下证，用反证法方法一：假设，由函数的函数图象知，当趋于无穷大时，趋于无穷大不能对恒成立，导致矛盾。。方法二：假设，，即恒成立（＊）为常数，（＊）式对不能恒成立，导致矛盾，第13题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（江西卷）)题目等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列,，且．(1)求与；(2)求．答案（1）设的公差为，的公比为，则为正数，，依题意有解得或(舍去)故（2）∴第14题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（四川卷）)题目设数列{an}的前n项和（Ⅰ）求a3,a4;（Ⅱ）证明：{aa+1-2an}是等比数列.（Ⅲ）求