分形之父芒德勃罗

1分形之父芒德勃罗通过“莱维稳定分布”走向分形1）发现莱维（PaulLevy,1886—1971）稳定分布的重要性；2）用自相似观点研究噪声与湍流的阵发过程；3）［重新］发现M集合；4）在前人基础上扩展了维数概念，并使各领域科学家广泛理解；5）提出“分形”概念和“多分形”（multifractal）思想；6）促进了科学的统一和数学的普及，有力推动了科学与艺术的结合。芒德勃罗从事的第一个科研实践（实际上仍然理论气十足）是研究通讯中的噪声和词频的分布，后来是河水的涨落以及经济学中的收入分布规律。这几项似乎一点不搭边，但它们都指向一个不变的东西，这个线索如此重要，以至不理解它就无法理解芒德勃罗一生工作的统一性。这个线索沟通了自然科学中长期存在的确定论描述体系与随机论描述体系，这个线索帮助人们理解宣言书《大自然的分形几何学》中各个部分之间的内在联系。这个线索的潜在价值远未开发完毕，它正在成为众多新学科的生长点：如最近对分数布朗运动（FBM）的兴趣，对莱维飞行（Levyflights）的重新关注，对非高斯稳定随机过程的新认识等等。那么这个线索是什么呢？就是从他的老师莱维那里学来的“莱维稳定分布”（Levy'sstabledistributions）。莱维是概率论少有的几位著名的奠基人之一，虽然现在的学生几乎不知道这个伟大人物了。当年在法国综合工科学院，莱维教过芒德勃罗，芒氏师从莱维学习基本的数学分析。在概率论基础奠定之前，钟型误差分布定律就已广为人知，这种分布具有各种想象得出的好性质，所以被冠以“正态分布”，也称高斯正态分布。言外之意，不满足这些性质的分布都不是标准的——也许多少有些“变态”。特别是本世纪初对布朗运动的大量研究，更加深了人们对这种完美分布的向往。数理科学中个别案例使用正态分布导致了空前成功，直接诱导人们将它推广到一切物理现象，最终必然影响到社会科学界。在相当长时间里（甚至到现在仍然如此），数理统计工作者言必称正态分布，在相当程度上正态分布是唯一有用、方便的工具。然而芒德勃罗发现这种流行观念是错误的。芒德勃罗最早关注经济学问题是从关于收入分配的帕累托定律（Pareto'slaw）开始的，这个定律的形式颇像他在语言学词频分布中注意到的齐普夫定律2（G.K.Zipf'slaw）。意大利经济学家帕累托曾专门分析过收入分布数据，他发现收入分布具有如下特点：收入水平越高，则收入高于这一水平的人口越少。他当时认定收入分布对于人为干预是不变的。芒德勃罗的经济论文发表后，经济学界不以为然。正统经济学家认为数据拟合得并不佳，并且认为芒氏的理论需要微观证据。芒德勃罗看重的不是数据拟合到何种程度，而是收入分布的长时尾（fattai-ls）现象在尺度变换下具有不变性，即个人收入分布、厂商尺度的收入分布和城市尺度的收入分布都具有这样的“尾巴”。“长时尾”现象暗示存在一种非高斯意义上的稳定分布。芒德勃罗熟悉他老师莱维的工作，立即将它与莱维的“稳定分布”联系起来。简单说来，稳定分布的含义是，多个独立同分布随机变量序列经过适当的线性总和后，其分布仍然保持不变。稳定分布是无穷可分的，对应于稳定分布的随机过程是稳定过程。稳定分布是比正态分布更广泛的一类分布，其中包含了正态分布。标准正态分布与正态分布都是稳定分布，柯西分布也是一种稳定分布，除此之外还有没有别的重要的稳定分布呢？这正是芒德勃罗急于思考的。芒德勃罗的经济模型中具有尺度变换下的“不变性”，他认为这十分关键，仅仅凭这一点就值得认真研究。他认为负幂律分布是除了高斯正态稳定分布外最简单、最值得考虑的一种稳定分布。它就像玻意耳（Boyle）的气体模型一样，可能与实际有些差别，但它是一种重要类型，一种简单的理想情况，只有研究清楚了这种理想情况，才能推而广之从而考虑更复杂的情形。正如我们不能说理想气体（idealgas）模型没有价值，也不能说帕累托－莱维分布过于理想化而没有实用价值一样。从这种意义上看，经济学界对他的反驳其实均不构成威胁。芒德勃罗是从逻辑分类的角度、从数学可能性的角度思考问题的，其模型撇开经验事实仍然具有理论价值。实际上1963年洛仑兹（EdwardLorenz,1917—）的《确定性非周期流》一文（在非线性科学史上具有重要地位）也具有此性质，洛仑兹方程只是大气运动的一种极度的理论抽象和简化，它甚至可以与实际的大气运动无关，但仍然具有重要理论意义和间接的实际意义。也正因为如此，芒德勃罗与洛仑兹的理想模型的应用也就不限于什么经济学或者气象学，而具有普遍性，可3以扩展到相当多的学科。芒德勃罗实际上也是这样做的，他不久后就将莱维稳定过程用于湍流研究，特别强调了“莱维飞行”，现在看来他的确是先行者，历史将公正地记录下他的先驱性工作。以棉花价格波动为例来讲，芒德勃罗的理论的特点在于，它不是考虑在某一个特定层次产生价格变动的规律，而是跨越层次，寻求尺度变换下的不变性。棉花价格是一种理想的数据源，经济学家对其变动的传统看法是，短期变化与长期变化没有关联，由快涨落导致的瞬间价格变化是随机的，而长期的价格波动是由于显然的宏观经济形势和战争之类重要事件决定的。因此传统经济学处理此问题的办法是，在确定性的过程中加上随机的噪声。芒德勃罗却把不同层次统一起来，发现日变化曲线与月变化曲线的一致性。对于股票价格，他也作了类似的分析。这未必是最好的理论方法，但至少是一种可能的理论方法，而以前人们确实忽视了它。但经济学界由于长期习惯于自己那一套思路，对芒氏的做法自然有反感，攻击他的最好办法就是指出其曲线拟合不理想。在研究股票价格变化中，芒氏极为反对“价格连续变化”的模型，认为这种照搬牛顿力学于经济学不济于事。在经济系统中，小的连续变化可以引起突然的不连续变化。基于这种考虑他否定了滤波预测方案和各种人为凑出高斯分布的办法。在经济学研究中他提出了标度原理。但是正如米诺夫基指出的，经济学界的这些人物并没有认真吸收芒德勃罗的思想，而是应付、回避矛盾，他们既排斥莱维稳定分布也排斥混沌。芒德勃罗早已摒弃了“不是决定论就是随机论”的两极化选择，他认为经济现象比较复杂，应当用更精致的随机过程或者混沌动力学描述，应当放弃牛顿经典力学的套路：由原子运动推出一切。本质上在经济学问题上芒德勃罗采用的是一种类似统计物理／热力学的现象学的方法，这一性质还未被经济学界深入理解。当芒德勃罗离开经济学时，他得到了什么？他似乎高兴地带走了价格变动的自相似观点、标度律的观点，以及一种似乎无人注意但有着各种潜在应用价值的“莱维稳定分布”。从1977年的《分形》一书可以看出，芒德勃罗已经自如地将“莱维飞行”运用于各种场合，包括布朗运动、分形集团和星际物质分布，并且给出占7页篇幅的图形说明。遗憾的是，科学界直到90年代才认识到这部分工作的重要性。4布朗运动·莱维飞行·阵发湍流1905年爱因斯坦用分子运动论阐述清楚布朗运动。实际上庞加莱的一个学生巴歇列（L.Bachelier,1870—1946），早在1900年就已经发展了一种布朗运动理论，只因为他的论文是关于股票市场涨落问题的，未引起物理学家的注意。巴歇利导出了随机过程的扩散方程，指出概率可以像热一样扩散。由于巴歇利的论文不为数理学界所知，它对后来布朗运动的物理学没有产生直接影响。爱因斯坦预测，布朗粒子随机行走（randomwalk）均方位移（me-ansquareddisplacement）随时间线性增长，乘以一个与阿佛加得罗常数有关的因子：附图用现在的符号表示则有＜x[2]（t）＞＝2Dt。1908年这一结果立即被佩兰用来测定阿佛加德罗常数，进而为“原子”的存在性提供了重要证据。佩兰1926年荣获诺贝尔物理学奖。从那时起，布朗运动成为重要的研究对象。但是问题并没有彻底解决，或者说研究才刚刚开始。芒氏1968年的文章通过引入“记忆”推广了布朗运动，对于关系σ[2]（t）＝t[2H]，H的取值范围一般限制在（1，1／2）之间，当H＝1／2时，正好对应于布朗运动。这一推广意味着随机行走的均方位移随t[2H]而增加。当H较小时扩散较慢，当H较大时扩散较快。在湍流中H可以取非常大的值。