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第6讲分形几何学一、什么是分形几何学二、谁创立了分形几何学？三、分形几何的产生四、分形艺术五、分形几何学的应用六、数学、分形与龙双鱼蜘蛛蜘蛛双鱼螃蟹眼睛我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。但是现实生活中象弯弯曲曲的海岸线这些对象就不能用传统欧几里德几何学的整数维描述或者说测量了。要描述这一大类复杂无规的几何对象，就引入了分形理论，把维数视为分数维数。这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。一、什么是分形几何学通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。又如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。分形几何具有五个基本特征或性质：⑴形态的不规则性；⑵结构的精细性⑶局部与整体的自相似性⑷维数的非整数性⑸生成的迭代性。分形理论认为维数可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念。当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1。又如要测量“寇赫岛”曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算“寇赫岛”曲线的维数是1.2618……。法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书，特别是《分形——形、机遇和维数Fractals：Form，ChanceandDimension》以及《自然界中的分形几何学“TheFractalGeometryofNature》，开创了新的数学分支——分形几何学。分形几何与传统几何相比有什么特点：⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随机现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。分形几何图形自然界中有许多分形的例子，如雪花、植物的枝条分叉、海岸线等。在数学中，历史上也构造了许多分形模型，如Koch曲线、weierstrass函数等。它们共同的特点是①处处连续但处处不可微，即曲线处处是不光滑的，总有无穷的细节在里面；②具有自相似性或统计自相似性，即在不同的标度下，它们的形状是相似的，不可区分的；③刻划它们的维数不是整数，而是分数。这是因为，这类曲线都有无穷的细节，所以用1维的直线来测量它，其值为无穷大，然而它们又没有填满一个有限的平面，所以其维数又不能等于2，因此，要想得到一个有限的长度，它的测量维数必定在1和2之间。4级Koch曲线3级Koch曲线Koch雪花Koch曲线的维数是1.2618二、谁创立了分形几何学？1973年，曼德尔勃罗特（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。分形的创立也是基于一个巧合，颇似当年哥伦布发现美洲新大陆的意外收获。分形的创立者曼得勃罗特原先是为了解决电话电路的噪声等实际问题，结果却发现了几何学的一个新领域。海岸线具有自相似性，曼得勃罗特就是在研究海岸线时创立了分形几何学。几何对象的一个局部放大后与其整体相似。部分的某种形式与整体相似的形状就叫做分形。Mandelbrot集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，可以无限地放大它的边界。图2、图3就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如“蜿蜒曲折的一段海岸线”，无论怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是很少见的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。图1图2图3•Fractal（分形）一词的由来据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。第一组随意的线条第二组别样的对称孕育秋|分形几何的创立，以美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年发表的《分形：形、机遇和维数》为标志，但形成分形几何思想的根源却可上溯一个世纪.19世纪后半叶起，数学家们在研究函数的连续性时构造出一类不符合人们传统观念的集合，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierstrass）1872年构造的以他的名字命名的函数是这类集合的第一例.它的图象处处连续但处处无切线（如图）,引起当时数学界的震惊.孰不料在此后的半个世纪里，数学家们接二连三地构造出一批这样的集合，它们的形状与性质和传统的几何对象大相径庭.被人们称为“反直觉的”，“病态”的“数学怪物”.令人惊奇的是，这些如今被称为分形的复杂图形却往往由非常简单的规则，经反复迭代生成.三、分形几何的产生⑴康托尔三分集1883年，德国数学家康托尔(G.Cantor)构造了一个奇异集合：取一条长度为1的直线段E0，将它三等分，去掉中间一段，剩下两段记为E1，将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段记为E2，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，得到一个离散的点集F（图），称为康托尔三分集.在康托尔三分集的构造过程中，如果每一步都用掷骰子的方法来决定去掉被分成的三段中的哪一段，或来选择子区间的长度，就会得到很不规则的随机康托尔集（如图），它被当时在美国IBM公司任职的曼德尔布罗特用作描述通讯线路中噪声分布的数学模型，如今在现代非线性动力学的理论研究中有重要地位.随机康托尔集都是随机分形，著名的随机分形还有布朗（R.Brown）粒子运动的轨迹（2）Sierpinski地毯：三分康托尔集等数学怪物的出现，使相当一部分传统数学家感到“直觉的危机”的同时，也引起了一些数学家的兴趣.1915~1916年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)将三分康托尔集的构造思想推广到二维平面，构造出谢尔宾斯基“垫片”：设E0是边长为1的等边三角形区域，将它均分成四个小等边三角形，去掉中间一个得E1，对E1的每个小等边三角形进行相同的操作得E2，……，这样的操作不断继续下去直到无穷，所得图形F称为谢尔宾斯基“垫片”（图）.它被用作超导现象和非晶态物质的模型将类似的操作施以正方形区域（与前面不同的是这里将正方形九等分）所得图形F称为谢尔宾斯基“地毯”.（3）Menger海绵：数学家门杰（K.Menger）从表面上看，海绵立方块是:一个立方体，是三维的，但它是以某一构造为基础而规则形成的许多孔洞的高度无序结构。在一定压力下它能压实在一个平面上，这时就是2维的。这说明表观看上去充实的立方体实际上是部分充实的3维结构，其真实维数大于2.0而小于3.0。所以可以说经典几何的整数维数只能反映物体的表观现象，而分形维数能刻画物体的内在特性。（1999年以前除[加]凯依著《分形漫步》外的大部分分形论著中，均称之为谢尔宾斯基海绵，曼德尔布罗特在《大自然的几何学》1998年最新修订版中对此加以了更正，并特别予以说明.）.这种“百孔千窗”，“有皮没有肉”的结构表面积无穷大，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型.（4）曼德勃罗特集：它的数学模型非常简单。连续放大Mandelbrot集合局部可以制作精美的GIF动画，放大过程所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。取其局部进行放大，可以看到它的精细结构及其自相似性质，放大可以无限地进行下去。Mandelbrot集合局部放大过程精彩地描述了分形的性质，描述了自然界的本质，可以说分形几何是真正描述大自然的几何学。分形几何体现了复杂与简单的统一：分形几何的主要价值在于它在极端有序和真正混沌之间提供了一种可能性。分形最显著的性质是：本来看来十分复杂的事物，事实上大多数均可用仅含很少参数的简单公式来描述。其实简单并不简单，它蕴含着复杂。分形几何中的迭代法为我们提供了认识简单与复杂的辩证关系的生动例子。分形高度复杂，又特别简单。无穷精致的细节和独特的数学特征（没有两个分形是一样的）是分形的复杂性一面。连续不断的，从大尺度到小尺度的自我复制及迭代操作生成，又是分形简单的一面.天才的猜想—迭代函数法：动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。分形体具有局部与整体的自相似性，对于有规分形，自相似性只存在于一定的范围内或在一定的标度空间中，复杂的分形图不能用传统数学方法描述，但却能用简单的迭代法生成，可以应用迭代函数系统生成诸如植物，丛林，山川，烟云等复杂的自然景物。客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构。在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分