分数阶动力学

基于分数因子的分数阶Hamilton系统Lie对称性和守恒量研究郑明亮（浙江理工大学理学院杭州310018）摘要：研究分数阶Hamilton系统的Lie对称性及其守恒量。提出了基于分数因子法的分数阶导数概念，利用Hamilton变分原理推导出分数阶系统的正则方程形式；进一步探讨在无限小群变换下的系统运动微分方程的不变性，给出系统Lie对称性的判据；根据对称性与守恒量之间的联系，得到相空间中分数阶系统的Lie-Noether守恒量。最后举例说明文中内容的应用。研究表明基于分数因子导数法研究分数阶系统的对称性和守恒量与经典整数阶约束力学系统在形式上保持着自然高度的一致性。关键字：分数因子；分数阶Hamilton系统；Lie对称；守恒量中途分类号：0316,0322文献标识码：AStudyonLiesymmetriesoffractionalorderHamiltonsystembasedonfractionalfactorZhengMingliang(Schoolofscience,ZhejiangSci-TechUniversity,Hangzhou310018)Abstract:LiesymmetriesandconservedquantitiesoffractionalorderHamiltonsystem.Basedonfractionalfactorialmethodoffractionalderivativeconcept,usingHamilton'svariationalprinciplederivedfractionalordersystemofcanonicalequationform;tofurtherexploretheinvarianceofthesystemmovementdifferentialequationsundertheinfinitesimaltransformations,criteriongivestheLiesymmetriesofthesystems;accordingtotherelationbetweensymmetriesandconservedquantities,phasespacefractionalordersystemofLie-Noetherconservedquantitiesofisproposedinthispaper.Theapplicationofanexampleattheendofthecontentsintheexposition.Researchindicatedthatthemethodbasedonfractionalfactorialderivativemethodoffractionalordersystemsofsymmetryandconservedquantityandclassicintegerorderconstrainedmechanicalsystemsintheformofmaintainedahighlynaturalconsistency.Keywords:fractionalfactor;fractionalorderHamiltonsystem;Liesymmetry;conservedquantity1引言：分数阶微积分几乎和整数阶微积分是同时提出的，它广泛应用于物理学、化学、生物、经济等方面，很多科学家、工程师认为用分数阶微分方程描述客观的物质世界更真实[1]。1996年，Riewe[2-3]研究了非保守系统的动力学建模，建立了分数阶Euler-Lagrange方程和分数阶Hamilton方程，是该领域研究的出发点。Frederico和Torres[4-8]基于变分原理引进分数阶守恒量的概念，首先研究了分数阶变分问题的不变性，给出分数阶Nother理论。Atanacković等[9]依据经典的守恒量定义研究了基于Riemann-Liouville分数阶导数定义下的变分不变性，建立了系统的Noether定理。EI-Nabulsi[10-11]于2005年提出了一种新的建模方法：类分数阶变分方法，分数阶时间积分仅引进一个实参数，所得到的Euler-Lagrange方程形式简单且类似于经典的方程。张毅[12-13]在EI-Nabulsi研究的基础上对分数阶变分问题进行了更为深入的研究，进一步推广了前人的结果。傅景礼[14]基于Caputo分数导数研究了非完整约束分数阶Lagrange系统的Routh方程和循环积分问题，得到了一些新结果。分数阶Lagrange系统的Noether对称性和守恒量研究已经得到很多结果，但相空间分数阶Hamilton系统变分问题及其它对称性和守恒量的研究还刚刚开始。本文给出了一种分数因子法的分数阶导数定义，进而建立分数阶系统的相空间Hamilton正则方程，推导了时间、广义坐标和广义分数阶动量的无限小变换生成元满足Lie对称性的确定方程，并根据规范函数满足的Lie结构方程,求出系统相应的守恒量形式，并给出了一个说明算例。2基于分数因子的分数阶导数定义和一些性质众所周知，Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数仅具有一阶导算子线性的优性，但其微积分基本性质与整数阶成熟微积分不是自然的一致。为此，本节主要给出一种新颖简便的分数阶导数的定义和一些性质，详细的讨论和证明可以查阅文献[15-17]。分数因子法分数阶导数定义为：btatfedttdfetdtdftffDtt)()()()()()1()1((1)式中函数)(tf在变区间],[ba上一阶可导，10是导数分数阶，te)1(是分数因子。假设)(tf和)(tg是在],[ba上的连续函数，分数阶微积分有以下基本性质:batbadttfetdtfiiiiggfDfgDgfDiiifgDgfDfgDiigDkfDkgkfkDi)()()()()()()()()()()()1(22121(2)在本文后面的讨论中，作者也将用到以下分数阶分部积分公式：bababatdfgDfgtdgfD)()((3)3分数阶Hamilton系统正则方程设力学系统的位形由n个广义坐标),...,2,1(nsqs确定，系统的Lagrange函数为：)10)(,,(ssqDqtL，引入分数阶广义动量和Hamilton函数为：ssqDLp，),,(),,(ssssssqDqtLqDppqtH(4)分数阶Hamilton作用量为：bassssbassdtpqtHqDpdtqDqtLI)],,([),,((5)分数阶Hamilton系统满足关系：ssqDqD以及),...,2,1(0nsqqbtsats根据Hamilton原理进行变分得：0)(bassssssssssdtqQppHqqHqDppqD(6)其中sQ为非有势(保守)力。式(6)括号内第二项为：basssbasttsbasstbabassssdtppDqdtpeDeqqpedtqDpdtqDp)]1([)(-1--1)1(）（）（(7)将式(7)代入式(6)，有：0])())1([(dtppHqDqpQqHpDssssssssba(8)如果非有势广义力)1(sspQ，联立(4)和(8)以及由sq的独立性和积分区间的任意性，得到分数阶力学系统Hamilton正则方程：ssssqHpDpHqD(9)根据分数因子法分数阶导数定义式(1)，引进分数阶能量),,(),,()1(*sstsspqtHepqtH，故相空间运动微分方程组可展开为：),...,2,1(),,,(),,,(*)1(*)1(nspqthqHqHeppqtgpHpHeqsssstsssssts(10)4分数阶Hamilton系统的Lie对称性设为无限小参数，ss,,0为无限小变换生成元，引入时间、广义坐标和分数阶广义分数阶动量的无限小变换：),,(),,,(),,,(**0*sssssssssssspqtpppqtqqpqttt(11)取无限小生成元向量*V和扩展微分算子*X为：ssssssssphqgtXpqtV*0*(12)命题1：在无限小生成元ss,,0的变换下，分数阶Hamilton系统正则方程保持不变性，则该系统是Lie对称性的，且无限小变换生成元必须满足如下确定方程：*0**],[XdtdVX(13)其中******],[XVVXVX，是Lie括号运算。证明：由微分方程组(10)在经无穷小变换(11)下保持不变性得到：),...,2,1(),,,(),,,(********nspqthppqtgqssssssss级数展开略去高阶项)(2O可得到：)()(**0**0ssssssqHVppHVqskkskkssskkkskksssskkskkssskkkskkssssssskkkkssssmmmmmmmmppqHqqHtqHqppHqpHtpHtppqHqqHtqHXqppHqpHtpHXtXpqHqpHtpqtpqtXXVVXVXXphqgtppqqt*2*20*2*2*20*20*2*20*2**2*20*2*0**********0*0000000)()()(],[)(（14））（sssspqHqpHtXdtdVX**0*0**-],[，与式(14)两边取对应项相等，即得：kkskksssskkskksssspqHqqHtqHpppHqpHtpHq**0*0**0*0（15）证毕。5Lie对称性导致的守恒量力学系统的Noether对称性可直接导出Noether守恒量，Lie对称性和Mei对称性不一定导致守恒量。下面的命题给出分数阶Hamilton系统在相空间中Lie对称性导致Noether守恒量的条件和守恒量的形式。命题2：如果无限小生成元),(),,(ssssspqtpqt,,0,),,(ssspqt满足分数阶Hamilton系统的Lie对称性确定方程(15)，且存在规范函数),(spqtG,满足下述Lie结构方程：0()()(*0***0**）GXXHqHtHXpssss(16)则分数阶Hamilton系统Lie对称性导致的Noether守恒量为：constGHpIss0*(17)证明：对式(17)求导数可得：GppHppHqqHtHdtdIssssssss0*0***][由结构方程式(16)带入以及联立式(10)可得：0)()()(00ssssssss