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矢量力学与分析力学比较摘要：在理论力学中，牛顿的矢量力学和后发展的分析力学都具有十分重要的地位。通过研究对象、研究内容和方法各方面对比分析，表述矢量力学与分析力学两种方法的特点和联系。在具体的平衡和运动问题中应用这两种方法，说明分析力学的普遍适用性，表明分析力学方法相比矢量力学具有更高的概括性和统一性，基于广义坐标、达朗贝尔原理、变分原理和泛函的分析力学构成理论力学更加严谨的完整体系。关键词：分析力学，矢量力学，拉格朗日力学，哈密顿力学理论力学是一门力学基础理论课。按照不同的特点和方法大体上可分为两部分：矢量力学（又称牛顿力学）和分析力学。牛顿给出了经典力学最初的表达式，该表达式建立在大量运用几何方法和矢量作为研究工具的基础之上，故它又叫矢量力学，是理论力学发展的基础。而分析力学作为一种独特的数力理论分析方法更是占据了重要地位。分析力学经历了几个重要的发展阶段，主要是拉格朗日力学和哈密顿力学：拉格朗日基于广义坐标和达朗贝尔原理提出了一套拉格朗日方程，其实质与牛顿第二定律等效；之后哈密顿等人在拉格朗日力学基础之上，建立了一套使用辛空间而不依赖于拉格朗日力学表述的新方法。分析力学的表述方法相比矢量力学具有更大的普遍适用性，使用分析力学可以解决很多在矢量力学中显得特别复杂的问题。除此之外，分析力学的方法和思想能够推广到量子力学等其它复杂的动力学系统中，因此在量子力学和非线性动力学中也有重要应用。1矢量力学和分析力学在各方面的比较1.1研究对象矢量力学和分析力学的研究对象大致是相同的，均为一个物体的运动。但侧重点又有所不同。矢量力学具体到每个质点或刚体，分别考察它们的运动；而分析力学着力于一个系统，使用广义坐标描述整体的运动规律。1.2研究内容矢量力学主要解释了力和加速度之间的关系，通过加速度的情况来描述运动的变化情况，而力则是物体相互作用的纽带。分析力学使用动能和势能作为基本物理量。动能描述了系统的运动状态，而势能则可以用来解释物体的相互作用。1.3基本方法矢量力学通过考察质点或物体的平衡关系，列出不同的动力方程，此外，还应补充和约束个数相等个数的约束方程，方能求解。但是分析力学动力学程普遍适用于质点、质点系和刚体，适用于惯性系和非惯性系，且不会随着广义坐标选取的不同而改变。此外，动力学方程中不含约束反力，约束增加，方程反而减少，故在求解的便利程度上具有很大的优势。2具体问题中的对比2.1平衡问题矢量力学从“力”的观点(主要是力系的主矢和对简化中心的主矩均为零)解决平衡问题。通过列出各个方向上的平衡方程，静力平衡问题和动力平衡问题都能够得到表示，但在复杂问题中方程太多，方程列出后不一定能求解。矢量力学给出的是刚体或者普通质点的平衡条件，不适用于一般的质点系。“虚功原理”是解决分析力学中平衡问题最具代表性的方法，也是分析力学的基础方法。该方法的原理如下：对理想的稳定约束系统，若初始静止，那么其继续保持平衡的充要条件是：作用在该系统上的所有主动力在任意虚位移上所作的虚功之和为零，即δ𝑾=∑𝑭𝑖∙𝛿𝑟𝑖=0𝑖此处仅仅是静止平衡的条件，不包含运动平衡，故必须保证初始静止。该原理适用于各类力学系统如质点、质点系、刚体等的静力学平衡问题。静止平衡的力学系统受到理想约束，故虚功原理只涉及主动力，而未知的约束反力不会出现其中，因此虚功原理有一个突出的优点就是解决受有理想约束的多约束力学系统的静力学问题十分方便，不必考虑复杂的约束力，只需列出和主动力所做元功相关的方程例1一光滑半球形碗半径为r，固定在水平面上，一均质细棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为:4(𝑐2−2𝑟2)𝑐牛顿法(矢量力学法)：如图1，可列出三个平衡方程∑𝐹𝑥=0𝑁1cos2𝜃−𝑁2sin𝜃=0∑𝐹𝑦=0𝑁1sin2𝜃−𝑁2cos𝜃−𝑚𝑔=0∑𝑀𝐴=0𝑁2𝐶−𝑚𝑔𝑙2cos𝜃=0由上述三式，又cos𝜃=𝑐2𝑟故棒长为l=2𝑐cos𝜃(tan2𝜃sin𝜃+cos𝜃)=4(𝑐2−2𝑟2)𝑐分析力学法：杆受理想约束，杆的自由度为1，杆的位置可由杆与水平方向夹角唯一确定，设棒长为l，如图2所示，建立o-xy坐标系，棒所受主动力只有重力，由虚功原理：δ𝑾=∑𝑭𝒊∙𝜹𝒓𝒊=𝟎𝒏𝒊=𝟏有𝑀𝑔∙𝛿𝑦𝑐=0，即𝛿𝑦𝑐=0。取α为广义坐标：𝐴𝐷̅̅̅̅=𝑐=2𝑟cos𝛼𝑦𝑐=(𝑐−𝑙2)sin𝛼=(2𝑟cos𝛼−12)sin𝛼=𝑟sin2𝛼−12sin𝛼δ𝑦𝑐=(2𝑟cos2𝛼−𝑙2cos𝛼)𝛿𝛼=0又δα≠0，故2𝑟cos2𝛼−𝑙2cos𝛼=0，所以𝑙=4𝑟cos2𝛼cos𝛼=4(𝑐2−2𝑟2)𝑐2.2运动问题矢量力学通过牛顿三大定律将物体的运动和时间空间联系起来，使用了数学几何等工具，定量地以公式定理的形式解释了运动，并建立了具有严谨的知识结构的牛顿力学体系。在实际应用中也十分方便，但是随着生产力的发展，求力学系统的运动问题时常常要解算大量的微分方程。而且随着力学体系受到约束的个数增加，又约束反力都是未知的，所以求解的方程数目也随着约束的增加而增加，大大增加了求解问题的复杂性，以及大量的计算工作。使用分析力学方法解决力学系统运动问题时，拉格朗日方程是最具代表性的普遍适用的方程。对于受有完整、理想的具有s个自由度的力学系统，拉格朗日方程为𝑑𝑑𝑡𝜕𝑇𝜕𝑞𝑖̇−𝜕𝑇𝜕𝑞𝑖=𝑄𝑖(𝑖=1,2,…𝑠)上述方程的数目等于力学系统的自由度数，其中T是力学系统的动能。𝑞𝑖和𝑞𝑖̇分别是广义坐标和广义速度。𝑄𝑖是广义坐标𝑞𝑖对应的广义力：𝑄𝑖=∑𝐹𝑗∙𝜕𝑟𝑗𝜕𝑞𝑖𝑛𝑗=1(𝑖=1,2,…𝑠)如果力学体系受有完整、理想约束且主动力为保守力则拉格朗日方程为𝑑𝑑𝑡𝜕𝑇𝜕𝑞𝑖̇−𝜕𝑇𝜕𝑞𝑖=0(𝑖=1,2,…𝑠)用分析力学方法建立系统的运动微分方程，不用关注未知约束力的具体情况。未知的约束力不出现在方程中，且约束越多，方程数越少。故计算起来也十分方便，克服了矢量力学中需要求解众多方程组的弊端。例2.质量为M半径为r的均质圆柱体放在粗糙的水平面上，柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m的物体，设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的，如图3所示，求圆柱体质心的加速度𝑎1，物体的加速度𝑎2，及绳中张力T。牛顿力学方法：取隔离体，受力分析如图3所示。圆柱体作平面平行运动，物体m作平动对m有：𝑚𝑎2=𝑚𝑔−𝑇对M有：M𝑎1=𝑇+𝑓12𝑀𝑟2𝜔=(𝑇−𝑓)𝑟圆柱只滚不滑，故𝑎1=𝑟𝜔̇,𝑎2=𝑎1+𝑟𝜔̇联立以上五式可以得到𝑎1=4𝑚𝑔3𝑀+8𝑚，𝑎2=8𝑚𝑔3𝑀+8𝑚，T=3𝑀𝑚3𝑀+8𝑚𝑔可以看出，牛顿力学解决力学系统运动问题时，注重的物理量是力和加速度，研究问题的方法基本上是借助于矢量和几何图形，分析质点的受力情况，根据牛顿运动定律，建立运动微分方程，求解未知量。分析力学方法：如图4建立坐标系，系统自由度为1，选y为广义坐标。物体m的动能和势能为：𝑇2=12𝑚𝑦̇2，𝑉2=−𝑚𝑔𝑦圆柱M的动能：𝑇1=12𝑀𝑣𝑐2+12(12𝑀𝑟2)𝜃̇2圆柱体只滚不滑，故𝑣𝑐=𝑟𝜃̇。A点的速度和m的速度相等，𝑦̇=2𝑟𝜃̇所以𝑇1=12𝑀𝑟2𝜃̇2+14𝑀𝑟2𝜃̇2=34𝑀𝑟2𝜃̇2=316𝑀𝑦̇2故L=𝑇1+𝑇2−𝑉2=12(38𝑀+𝑚)𝑦̇2+𝑚𝑔𝑦∂L∂𝑦̇=(38𝑀+𝑚)𝑦̇∂L∂y=𝑚𝑔得𝑑𝑑𝑡(∂L∂𝑦̇)−∂L∂y=(38𝑀+𝑚)𝑦̈−𝑚𝑔故𝑎_2=𝑦̈=8𝑚𝑔/(3𝑀+8𝑚)，𝑎_1=𝑟𝜃̈=𝑦̈/2=4𝑚𝑔/(3𝑀+8𝑚)从上述例题可以看出，对于主动力是保守力的力学系统，能量是分析力学的基本量。从数学上讲，将对象从矢量转变为标量，方法也从几何方法转变为数学分析。同时，在处理理想约束时，拉格朗日方程中不含约束反力，因此避免了未知约束反力引起的麻烦。所以分析力学在处理复杂约束的问题时具有很大的优越性。从矢量力学和分析力学的对比中我们可以看出，牛顿力学方法以矢量，如速度，加速度和力，借助几何图形，列出平衡方程，解题思路明确、清晰，既可求出运动规律，也能求出约束反力。但是对于多约束的力学系统，该方法便不再简单。而分析力学方法，面对的物理量是标量，如能量，广义坐标，借用数学分析的方法。此方法具有更高的概括性和统一性，较牛顿力学方法有定的优越性，主要反映在以下几个方面(以拉格朗日方程为例):1.拉格朗日方程适用于稳定约束和非稳定约束。用分析力学方法既可以建立惯性系中的动力学方程，也可以建立非惯性系中的动力学方程。2.拉格朗日方程的形式对任何广义坐标保持不变，而且广义坐标可以同时选线量和角量，也可以同时选相对量和绝对量，分析力学采用的广义坐标比牛顿力学中采用的坐标变量要广泛的多。3.拉格朗日方程的个数与力学体系的约束条件有关，约束越多，方程数越少，对多约束的力学体系，分析力学方法显示出了优越性。4.拉格朗日方程为建立系统的运动微分方程提供了统一的程序化的方法，不论对任何力学系统，不论对何种运动形式，用分析力学方法建立方程的过程都是相同的。分析力学方法采用能量分析以及数学解析的方法，这不仅是计算方法上的进步，而且有利于将这种方法推广到物理学的其它领域中去。5.拉格朗日方程的形式与力学系统的结构和运动形式无关,在牛顿力学中，质点、质点组、刚体等力学系统都各有适合于该系统的基本动力学方程，这些方程不是都能通用的。但分析力学中，各种力学系统的运动方程潜藏在统一的拉格朗日方程中。由于拉格朗日方程形式的高度概括性,使方程的物理图像不如牛顿力学那么直观、那么容易理解，这是分析力学方法的不足之处。3哈密顿体系的发展应用对拉格朗日量进行勒让德变换，就可以得到哈密顿量。哈密顿方程是一阶微分方程，因而比二阶的拉格朗日方程容易解。而且部分哈密顿量具有对称性，因此更加容易计算，让哈密顿方程和有限元等知识结合起来会有很好的性质。因此目前有很多问题，如板断裂，热传导都能用哈密顿体系求解，获得很好的结果。参考文献：[1]郭志荣,王晨,李永平理论力学中的牛顿力学与分析力学方法之浅析廊坊师范学院学报(自然科学版)2009年4月第9卷2期