华东师范大学高等代数历年真题(97年02年)

1华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一.（10分）计算下列行列式：11222221122111112211...1(1)(1)...(1)(1)(1)...(1)(1)(1)...(1)nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxx二.（15分）设5200200000520022A，求正交矩阵T，使'1TATTAT为对角形矩阵，并写出这个对角形矩阵.三.(15分)设200201Aabc是复矩阵.1.求出A的一切可能的Jordan标准形；2.给出A可对角化的一个充要条件.四.(15分)已知3阶实数矩阵()ijAa满足条件(,1,2,3)ijijaAij，其中ijA是ija的代数余子式，且331a，求：1.A2.方程组123001xAxx的解.2五.（15分）证明：一个非零复数是某一有理系数非零多项式的根存在一个有理系数多项式()fx使得1().f六.（15分）设A是n阶反对称阵。证明：1.当n为奇数时|A|=0.当n为偶数时|A|是一实数的完全平方;2.A的秩为偶数.七.（15分）设V是有限维欧氏空间.内积记为(,).又设是V的一个正交变换。记12|,,|VVVV，求证：1.12,VV是v的子空间;2.12.VVV八.（15分）设n阶实数方阵的特征值全是实数且A的所有1阶主子式之和为0，2阶主子式之和也为0.求证：0nA九.（15分）设A，B均是正定矩阵，证明：1.方程0AB的根均大于0；2.方程0AB所有根等于1A=B.3华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题一.（10分）计算下列行列式:13131322222...2223333...336...nnnnnnnnnnnnnn二.(10分)证明：方程组111122121122221122...0...0(1)...............0nnnnsssnnaxaxaxaxaxaxaxaxax的解全是方程1122...0(2)nnbxbxbx的解的充分必要条件是：12(,...,)nbbb可由向量组12,...,s线性表示，其中12(,,...,)(1,2,...,).iiiinis三（15分）设32()fxxaxbxc是整系数多项式，证明：若ac+bc为奇数，则f(x)在有理数域上不可约.四（15分）设A是非奇异实对称矩阵，B是反对称实方阵。且AB=BA。证明：A+B必是非奇异的。五（15分）A为n阶方阵，()||fEA是A的特殊多项式。并令'()(),((),())fgff（'()f称为()f的一阶微商）。证明：A与一个对角矩阵相似的充要条件是()0.gA。4六（15分）假设A是n维欧氏空间V的线性变换，*是同一空间V的变换。且对,,V有*(,)(,).证明：1*是线性变换。2的核等于*的值域的正交补。七（15分）证明：任意方阵可表为两个对称方阵之积，其中一个是非奇异的。八（15分）设f(x)为数域P上多项式，且有12()()(),fxfxfx12((),())1.fxfx又设D为P上N维线性空间。为V的一个线性变换。K为()f的核，1为1()f的核，2为2()f的核。证明：12.K九（15分）设1ab是n阶实方阵A的任一特征值。,ab是实数。如'的n个特征值是12,,...,n。证明：必有11minmax22iiiia（'是A的转置矩阵）。5华东师范大学1999年攻读硕士学位研究生入学试题一（15分）计算行列式：123210232101341012105432014321nnnnnnnnnnnnnn二（15分）设P是一个素数，多项式12()...1.ppfxxxx证明：()fx在有理数域上不可约。三（15分）设11111xAxyy与000010002B相似，（1）求,xy的值。（2）求一个正交矩阵T，使1'TATTATB四（15分）设A是实矩阵，'是A的转置矩阵，求证：（1）'与A的秩相等。（2）当A是满秩时，'是正定的。6五（20分）设A是n阶方阵，证明：（1）A的特征多项式()fx与A的最小多项式()mx的根相同。（2）若A的特征根互异，则()()mxfx。六（20分）设V是数域F上任一线性空间，A是V上一个线性变换，[]Fx是数域F上一元多项式的集合。证明：设()dx是(),()fxgx的最大公因式，(),()[],fxgxFx则ker()ker()ker(),dfg其中ker是的核。七（20分）设n维欧氏空间V的线性变换满足30.证明：的迹（即在V的某一基下对应矩阵的迹数）等于零。7华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题一（15分）已知下列非齐次线性方程组（1）（2）（1）1241234123264133xxxxxxxxxx（2）123423434521121xmxxxnxxxxxt1求方程组（1），用其导出组的基础解系表示通解。2当方程组（2）中的参数,,mnt为何值时，方程组（1）与（2）同解。二（15分）设n阶方阵A，B满足条件A+B=AB。1证明：A-E为可逆矩阵，E为n阶单位矩阵。2证明：AB=BA。3已知：130210002B，求A.三（15分）设向量12(,,...,)Tnaaa；12(,,...,)Tnbbb都是非零向量，且满足条件0T，令n阶方阵T。1求2A；2矩阵A的特征值和特征向量。3说明A是否与对角矩阵相似。8四（15分）求一个可逆线性替换把222112213322544xxxxxxx与2221122233323422xxxxxxx同时分别化成标准形。五（10分）试证：设()fx是正系数多项式，且(1)(2)(3)fffP（P是素数）则不存在整数m，使()2fmP成立。六（15分）设A是n阶半正定矩阵，B是n阶正定矩阵。试证：||||ABB，且等号成立当且仅当A=0。七（15分）设A是线性空间V的线性变换，试证：秩2A=秩AA的值域与核的交为零空间。即1(0){0}AVA。9华东师范大学2001年攻读硕士学位研究生入学试题一（15分）计算行列式231131121123123100000nnnnnnnnaaaabaaabbaabbbabbbb二（15分）设112223111,,...,,nnnnn,试证：（1）当n为偶数时，12,,...,n线性相关。（2）当n为奇数时，12,,...,n线性无关12,,...,n线性无关。三（15分）设12,,...,naaa为互不相同的整数，证明：多项式12()()()...()1nfxxaxaxa在有理数域上不可约。10四（20分）已知：123,,AAA是三个非零的三阶方阵，且2(1,2,3)iiAAi，0()ijAAij.证明：（1）(1,2,3)iAi的特征值只有1和0；（2）iA属于特征值1的特征向量是jA属于特征值0的特征向量；（3）若123,,xxx分别是123,,AAA属于特征值1的特征向量。则123,,xxx线性无关。五（15分）若存在正整数m，使,mAE（E单位矩阵，A是n阶方阵），证明：A相似于对角形矩阵。六（20分）A为mn阶实矩阵，且,mn证明：TAA正定A的秩m。（TA为A的转置矩阵）11华东师范大学2002年攻读硕士学位研究生入学试题一（15分）计算行列式：44441222122212221222xxxxx二（15分）设2n阶实对称矩阵：000100101000A,试求正交矩阵T，使'1TATTATB为对角矩阵，并求矩阵B.三（20分）设为数域K上维线性空间V的一个线性变换，满足2,，A为在V的某基下的矩阵，rankA=r.1证明：（1）为V的可逆线性变换；（2）rankA=TrA.2试求|2E-A|.这里，E为单位矩阵，为恒等变换，rank与Tr分别表示秩与迹.12四（20分）设B是nn正交矩阵，C是秩为m的nm实矩阵，nm,令'0BCAC证明：A有n个正的特征值，m个负的特征值。五（15分）设f(x)为实系数多项式,证明：如果对任何实数c都有()0,fc，则存在实系数多项式()gx和()hx，使22()(())(())fxgxhx六（15分）设A，B都是n阶方阵，rankA=n-1.证明：如果AB=BA=0，则存在多项式g(x)，使B=g(A).