分数阶傅立叶变换的最优阶数论文

现代数字信号处理学号：140808040219学生所在学院：测试与光电工程学院学生姓名：任课教师：李志农教师所在学院：测试与光电工程学院2015年1月分数阶傅立叶变换的最优阶数摘要：传统傅立叶变换描述了信号时域或频域的特性，而不是描述信号时频特性，于是人们提出了一系列新的时频分析理论和方法来处理非平稳信号，分数阶傅立叶变换为其中的一种。本文主要介绍了它的定义、性质，还有它的离散算法，介绍了求最优阶数的方法，主要是峰值搜索算法。最后进行仿真验证，利用MATLAB对一个已知的chirp信号求解最优阶数。关键字：傅立叶变换；分数阶傅立叶变换；峰值搜索算法；MATLAB；最优阶数1引言传统的傅立叶变换在所有的信号处理工具中是应用最广泛、研究最成熟的数学工具，作为一种线性算子，传统傅立叶变换可视为在时频平面上，信号从时间轴逆时针旋转2到频率轴，而FRFT作为FT的广义形式可理解为对信号旋转任意角度的线性算子，从而可以得到信号的任意阶次或者任意分数阶傅立叶域上的FRFT表示，并且在保留了传统的FT所有性质和优点的基础之上又增添了新的优势。2FRFT的定义及其性质1.1FRFT的定义如图1.所示如果把信号的分数阶傅立叶变换看作是从时间-频率平面旋转的话，那么傅立叶变换就相当于在时频平面中逆时针旋转了2角度，从时间域变换到频率域。令2p，p是一个分数，那么就可以在时频平面内以任意角度的旋转定义线性算子2pRR，记作pF，我们就可以把傅立叶变换推广到任意角度即分数阶傅立叶变换。图1.(,)tw平面旋转角度变成(,)uv平面分数阶傅立叶变换的定义为：(){}()(,)()pppXuFxuKutxtdt(2-1)其中是核函数(,)pKut，(2-2)这里,022pp，p=1或-1时退化成为常规的傅立叶变换和逆变换。分数阶傅立叶变换和经典傅立叶变换具有以下的关系：1.分数阶傅立叶变换是线性算子2.周期性04[()][()]()FxtFxtxt(2-3)12[()][()]()FxtFxtX(2-4)1.2分数傅立叶变换的性质（1）线性分数阶傅立叶变换为线性变换，满足叠加原理：若()PFft和()PFgt分别是原函数()ft和()gt的p阶分数傅立叶变换，则有1212(()())()()PPPFcftcgtcFftcFgt(2-5)（2）旋转相加行PqPqFFF(2-6)（3）逆1()PPFF(2-7)（4）酋性1()()PPHFF(2-8)（5）交换性1221PPPPFFFF(2-9)（6）结合性331212()()PPPPPPFFFFFF(2-10)（7）周期性44()[()][()]()pkppkpfuFfxFfxfu(2-11)（8）特征函数exp(/2)pllFjpl(2-12)（9）卷积、相乘、相关①函数()ft、()gt在阶次p分数阶傅立叶域的卷积记作**[][]()()ppppppFfFgftgt(2-13)②函数()ft、()gt在阶次p分数阶傅立叶域的乘积记作[][]()()ppppppFfFgftgt(2-14)③函数()ft、()gt在阶次p分数阶傅立叶域的相关定义为*[(),()][(),()]ppCORRftgtCPNVftgt(2-15)（10）时移特性2sincossin2[()](cos)jjuppFxtXue(2-16)（11）频移特性21(sincossin)2[()](sin)jvupjtpFxteeXuv(2-17)（12）尺度特性222coscot(1)2cos21cotsin[()]()cotsinujppjFxcteXucjc(2-18)其中2arctan(tan)/2cp（13）微分特性''[()]()cos()sinpppFxtXujuXu(2-19)（14）积分特性22tantan22()sec()uzlujjpxdeXzedz(2-20)3分数阶傅立叶变换的离散的离散算法分数阶傅立叶变换的出现引起了各个领域研究人员的重视，在工程上也有十分广阔的应用前景。在数字信号处理的应用中，必须采用离散形式的分数阶傅立叶变换（DFRFT），这使得离散分数阶傅立叶变换及其快速算法的研究显得十分重要。目前，DFRFT的离散化算法主要有四种：1.利用320()iiiFW来计算离散FRFT的核矩阵，从而利用FFT来计算DFRFT其中W是离散傅立叶变换核矩阵。这种方法实际上缺乏理论基础，而且其离散FRFT矩阵不满足连续FRFT的旋转相加性，因此不能用相同的方法计算逆FRFT。实际计算所产生的误差比较大，与连续FRFT没有相似的输出结果。其计算复杂度与传统傅立叶变换相同，为2(log)ONN。2.分解方法根据FRFT的表达式，将FRFT分解为信号的卷积形式，从而利用FFT来计算FRFT。这种方法思想比较直观，计算出的记过与连续FRFT的输出比较接近。但它要经过一次2倍内插和2倍抽取，而且还要进行坐标的无量纲化，实现起来较为烦琐。其计算复杂度为2(log)ONN。3.利用矩阵的特征值和特征向量来计算DFRFT这种方法保持了连续FRFT的特征值-特征函数的关系，克服了第一种方法中特征值和特征向量不匹配的缺点。采用了两种正交映射的办法DFT的Hermite特征向量，由此开发出两种快速方法，即OPA方法和GSA方法，这两种方法都有和连续FRFT相近的输出结果，可逆性好。其计算复杂度均为2()ON。4.直接对FRFT进行离散化来计算DFRFT。这种方法采用直接将连续FRFT离散化的方法来获得离散FRFT的核矩阵，避开了烦琐的特征值和特征向量匹配问题以及矩阵的正交归一化运算，与连续FRFT有相似的输出结果，该算法的计算复杂度为2()ON。在目前的研究中，采用的最多的是分解方法和矩阵特征值和特征向量两种方法，下面的内容重点介绍这两种方法。3.1分解方法所谓分解方法是指根据FRFT的表达式，将FRFT分解为信号的卷积形式，从而利用FFT来计算FRFT。这种算法由H.M.Ozaktas等人提出，其计算速度几乎与FFT相当，被公认为目前计算速度最快的一种FRFT数字计算方法，非常适合于对信号进行实时的FRFT计算。但这种快速算法的运算机理决定了在进行FRFT数值计算之前必须对原始信号进行量纲归一化处理。3.1.1量纲归一化原理如果一个信号在时间轴或频率轴的一个子集取非零值，并且取非零值的条件限定在有限区间内，则称该信号在时间轴或频率轴上是紧凑的。从理论上讲，任何信号和它的傅立叶变换不可能是同时紧凑的。然而我们实际中需要处理的信号往往是时限的和带限的。信号的时宽带宽积可以用来确定信号的采样频率和采样点数，用于唯一地从离散化的信号中恢复原始信号。假定原始连续信号在时间轴和频率轴上都是紧凑的，其时域表示限定在区间[/2,/2]tt，而其频域表示限定在区间[/2,/2]ff，t和f分别表示信号的时宽和带宽。信号的时宽带宽积为Ntf，根据不确定性定理，N的值应当大于1。由于时域和频域具有不同的量纲，为了FRFT计算处理方便，需要将时域和频域分别转换成无量纲的域。具体方法是引入一个具有时间量纲的尺度因子S，并定义新的尺度化坐标/xtS,/vfS新的坐标系(,)xv实现了无量纲化。信号在新坐标系中被限定在区间[/2,/2]tStS和[/2,/2]fSfS内。为使两个区间的长度相等，选择/Stf，则两个区间长度都等于无量纲量xtf，即两个区间归一化为[/2,/2]xx。归一化以后信号的Wigner-Ville分布限定在以原点为中心，直径x的圆内，如图3-2所示。最后根据采样定理对归一化后的信号进行采样，采样间隔为1/x，采样点数为2Nx.图3.1归一化后的时频支撑区域3.1.2分解算法可以把（2-1）式改写为221cotcotcot()exp[]()exp[]exp[csc]222PjutXujxtjjtudt(3-1)式可以具体分解为以下几个步骤：（1）用chirp信号调制信号()xt：2()()exp[tan(/2)]gtxtjt(3-2)（2）调制信号与另一个chirp信号卷积：2()exp[()csc]()guAjutgtdt(3-3)（3）用chirp信号调制卷积后的信号：2()()[tan(/2)]PXugujt(3-4)要实现FRFT的数值计算必须对以上每个分解步骤都进行离散化处理，具体的实现过程如下：（1）对()xt与chirp信号的乘积进行采样假定分数阶次[1,1]p，chirp信号的调频率tan(/2)1，()xt经chirp信号调制后所得的信号时宽带宽积可以是原信号的时宽带宽积的两倍，所以要求()xt的采样间隔为1/2x，如果原来的采样间隔是1/x，可通过插值的方法获得样本值，然后再chirp信号的离散采样相乘，以得到()gt的采样值。（2）实现()gt与chirp信号的卷积由于()gt是带限信号，所以chirp信号也可取其带限形式。所以有：2()exp[()csc]()()()guAjutgtdtAhutgtdt(3-5)其中2()()exp(2),exp[(csc))]xxhuHvjvuduju而()Hv则是chirp信号傅立叶变换231()exp()exp[]4csccscjjvHv(3-6)于是，式的离散形式为222NNmmnngAhgxxx(3-7)这一离散卷积可利用FFT来计算。（3）计算分数阶傅立叶变换()pXu的采样值(/2)pXmx由于在第一步操作时对信号作了2倍内插操作，所以在最后的结果需要对(/2)pXmx再进行2倍抽取，以得到离散采样(/)pXmx。总之上述方法从连续信号()xt的N个离散采样(/)xmx开始，最后得到由()pXu的N个离散样本(/)pXmx值得注意的是上述方法只适用于11p的情况，对位于该区间外的情况，可以利用分数阶傅立叶变换的周期性将阶次变到11p后再进行计算。3.1.3特征值和特征向量方法分解方法虽然计算复杂度较低，但不严格遵守分数阶傅立叶变换的旋转特性，因此不能从变换后的信号通过其逆变换精确地恢复原始信号。为了克服这种方法的缺点和不足，PeiSoo-Chang等人提出一种新的离散化方法，该方法具有与连续情况相似的变换性质和结果，并可以通过其逆变换恢复原始信号。这种方法就是特征值和特征向量方法，它从连续傅立叶变换的特征函数为Hermite函数出发，通过对Hermite函数的离散化近似和正交投影，得到一组与Hermite函数形状相似的DFT矩阵的正交化离散Hermite特征向量，然后，按照连续分数阶傅立叶变换的核函数谱分解表达式，构造离散分数阶傅立叶变换矩阵。3.1.3.1DFT矩阵特征值和特征向量傅立叶变换的特征函数()nu为Hermite-Gaussian函数，其表达式为：2()(2)unnnuAHue(3-8)其中1/422!nnAn，0,1,,;nn()nHu为n阶Hermite多项式。DFT矩阵的特征值及重复度如下表：DFT矩阵F的特征值是(/2)jke，共有1、-j、-1、j四个值，每个特征值对应的特征向量全体组成一个特征子空间，记为0123,,,EEEE，每个特征值的重复度决定了子空间的秩。矩阵S可用于计算DFT矩阵F的特征向量，S的表达式为：210112cos10012cos201002cos(1)SN(3-9)可以证明矩阵S和F满足乘法交换性，即SF=FS。因此矩阵S的特征向量也是矩阵F的