华中科技大学2011年大一微积分期中考试题

2011级微积分第一学期期中试卷共6页考试时间9:00-11:001华中科技大学2011级微积分学第一学期期中考试试卷班级姓名学号分数一、（每小题5分，共60分）1.计算极限nlnn!2011lim.2.设0x时，无穷小量1arctan142xau与xvcosln等价，求常数a的值.3.计算极限3sin0limxeelxxx.2011级微积分第一学期期中试卷共6页考试时间9:00-11:0024.计算极限xxxexl110)1(lim5.设曲线)(xfy与xy2arctan在原点相切，求)1(limnnfn.6.设函数)(x在1x连续，且任给自然数n，有nnnn)1(。（1）求)1(；（2）设)()1()(xxxf，求)1(f。7.设xxy，求)1(dy.2011级微积分第一学期期中试卷共6页考试时间9:00-11:0038.设函数)(xyy由方程122yxyx确定，求y，y.9.设tttytxcossin,cosln，求dxdy和422tdxyd.10.设2521)(2xxxxf，求)1()()(nxfn.2011级微积分第一学期期中试卷共6页考试时间9:00-11:00411.确定自然数n的范围，使xxxxxfn0,00,1sin)(的导函数)(xf在0x处连续。12.设函数11arctan)(21xxexfx，指出其间断点，并说明间断点类型.二、（每小题6分，共24分）13.设)(xf在2,0上连续，在)2,0(上可微，且0)1()0(,0)2()0(ffff，证明：存在)2,0(，使)()(ff。2011级微积分第一学期期中试卷共6页考试时间9:00-11:00514.设函数)(xfy和它的反函数)(yx均存在三阶导数，且0y，请推导出反函数的求导公式22,dyxddydx和33dyxd[用yyy,,表示]。15.证明：当1x时，有212arccos214arctanxxx。16.设函数)(xf在,a上连续，在),(a内可导，且1)(xf。若0)(af，证明：方程0)(xf在区间))(,(afaa内有唯一根。2011级微积分第一学期期中试卷共6页考试时间9:00-11:006三、（每小题8分，共16分）17.分别叙述数列nx有界和收敛（以axnnlim为例）的定义。并证明：收敛数列是有界数列。18.如果记x，10，则拉格朗日中值公式)()0()(fxfxf可以写作：10),()0()(xfxfxf，的大小通常与x相关。（1）若0)0(f，试证：21lim0x；[5分]（2）设)(xfxarctan，求0limx。[3分]2011级微积分第一学期期中试卷共6页考试时间9:00-11:007