华中科技大学2011年大一微积分期中考试题答案

12011级第一学期期中考试解答及评分标准（助教注意：阅卷前请亲自做一遍，以便理解评分要点。若有新的解法，请参照标答步骤给分。中间某处错了，如果未改变难度，后面适当给分。分数登记之后试卷将发给学生，因此评分要经得起学生的质疑。改错须返工。若发现本解答有误，请咨询任课教师经确认后调整。发现有未提及的并且很简便的解法，请收集并发送给毕志伟：[e-mail]）1．法一：nnnn2011!20112011!20110,20112011（3分）得0l（5分）法二：12011,20111naannn，数列单减有下界0,故极限存在（3分），对12011nnana两边取极限推出0l（5分）2．u~2arctan4xa~,42xav~1cosx~221x（4分）故2a（5分）3．30sin3sin0sinlim1limxxxexelxxxxx613cos1lim203xxx（5分）法二：3030sinlim)sin(limxxxxxxelxx613cos1lim203xxx（5分）法三：xxexeexxeelxxxxxxx6sincoslim3coslimsin2sin02sin0（3分）616162sincoslimsin3sin0xexeexxxx（5分）24．2121)1(lim)1ln(lim)1(ln1lim102010xxxxxexxxxxx（4分），故2/110])1(ln1limexp[eexxlxx（5分）5．由题设知2412)0(,0)0(02xxff（2分），故2)0(/1)0()/1(limfnfnfln（5分）6．由连续性条件知极限)1()(lim1xx存在，特别，)1(1lim)1(limnnnnnn（3分）；由导数定义1)1()(lim1)1()(lim)1(11xxfxffxx（5分）[注意，从)()()1()(xxxxf中令1x得出)1(f不给分]7．)211(21xxxy，(3分))1(dydxdxy243)1(（5分）8．02)(2yyyxyx，yxyxy22（2分）2)2()21)(2()2)(2(yxyyxyxyy（3分）3)2(6yx（5分）9．ttttttdxdycos)cos(ln)cos(sin（2分），3tttttttdxydtansincos)cos(ln)cos(22（4分）)41(21422tdxyd（5分）10．2521)(2xxxxf)21121(31xx（2分），})2(!)1()12(!)1(2{31)(11)(nnnnnnxnxnxf（5分）11．首先需要函数)(xf在0x的某个邻域上可导。欲使xxxfxfnxx1sinlim)0()(lim100存在，应有1n，此时0)0(f（2分），欲使导函数)(xf在0x处连续,应有0)(lim0xfx于是从0,00,1cos1sin)(21xxxxxnxxfnn（4分）看出必须2n（5分）12．间断点为0，1（2分）0)(lim0xfx，efef2)1(,2)1(，4故0x是可去间断点，1x是跳跃点。（5分）13．证明：由连续函数的零点定理知存在)2,1(),1,0(21，0)()(21ff。（2分）设)()(xfexgx，由罗尔定理，存在)2,0(),(21，使0)(g,即有)()(ff。（6分）14．ydydx1，（2分）322)(1)1(yyyydyxd（4分）52333)()(31)(yyyyyyydyxd（6分）15．设212arccos21arctan)(xxxxf，1x因为0)1(4)1(2)12(112111)(2222222xxxxxxxf（5分）所以Cxf)(,又4)1(f，故4)(xf。（6分）16．记aafab)(，则))(()()(abfafbf0))(()()()(afafabaf（4分），由零点定理存在),(bac，0)(cf。5又)(xf是严格单调增加的，故c是方程0)(xf在))(,(afaa内的唯一根（6分）。或者用反证法，如果有两个以上的根，则由洛尔定理，导函数就有零点，与条件矛盾。17.定义叙述4分，有界性证明4分。（表达意思相同就可以）叙述nx有界:,0nMMxn；axnnlim:,,0NnNaxn。证明取正数1，由axnlim知，某项N之后的nx落在有限区间)1,1(aa内而表明这部分有界，而N之前的项数有限，也落在有限区间),max,min(11nNnnNnxx内而有界，综合即得。18.（1）由10),()0()(xfxfxf，来凑二阶导数：xfxfxfxffxx)0()(lim)0()(lim)0(000020lim/)0(21lim/)0()0()(limxxxfxxffxf其中，)0(212)0()(lim)0()0()(lim020fxfxfxxffxfxx故从0)0(f推出，21lim0h（5分）（2）10,)(110arctan2xxx，解出xxxxxxxarctanarctan1arctan222，620limx313111limarctanlimarctanarctanlim2203020xxxxxxxxxxxx，故31lim0x。（8分）