分离变量法与有限差分法在电场的应用.

分离变量法与有限差分法在电场的应用问题引出有一长方形的导体槽，a=20，b=5，设槽的长度为无限长，槽上有两块与槽绝缘的盖板，电位分别为100V和50V，其它板电位为0V，求槽内的电位分布。yx10050ab有限差分法基本思想用有限差分方程组近似原微分方程和定解条件把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似。有限差分法计算机仿真x=21;y=6;v1=ones(y,x);v1(y,:)=ones(1,x)*100;v1(1,:)=ones(1,x)*50;fori=1:y;v1(i,1)=0;v1(i,x)=0;endmax=1;t=0;v2=v1;n=0;while(max1e-6)n=n+1;max=0;fori=2:y-1;forj=2:x-1;v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1))/4;t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));if(tmax)max=t;endendendv1=v2;enddisp(v2);disp(n);mesh(v2);有限差分法计算结果：分离变量法计算解析解主要思想是——把一个电势场分成两个。一个由0到100v变化，另一个有50v到0变化，然后电势叠加，即可得到50v到100v的电位变化.分离变量法计算解析解分离变量法计算解析解得分离变量法计算解析解而得而分离变量法计算解析解由边界条件（m为奇数）分离变量法计算解析解(n为奇数)分离变量法计算解析解通过（2）得分离变量法计算解析解而（s为奇数）分离变量法计算解析解f1=exp(-n*pi.*Y/a);f3=(2*c*exp(n*b*pi/a)-c)/(-d);f4=((2*c-c*exp(n*b*pi/a))*exp(n*b*pi/a))/d;s=j.*(f3.*f+f4.*f1);z=z+s;endz=z/20;mesh(X,Y,z)x=0:1:20;y=0:0.25:5;[X,Y]=meshgrid(x,y);z=ones(21);forn=1:2:110;j=sin(n*pi.*X/a);c=(200*a)/(n*pi);d=1-exp(2*n*b*pi/a);f=exp(n*pi.*Y/a);0到100v的电位变化50v到100v的电压变化结果比较与分析有限差分法优点：从而使许多解析法很难解决的复杂电磁场边值问题，有可能通过电磁场的计算机辅助分析获得很高精度的数值解；缺点：数据输入量大、计算量大、受硬件条件的限制。结果比较与分析分离变量法优点：可将解答表示为已知函数的显式，从而计算出精确的数值结果；可以作为近似解和数值解的检验标准；在解析过程中和在解的显式中可以观察到问题的内在联系和各个参数对数值结果所起的作用。缺点：它仅能解决很少量的问题。而用积分方程法是往往求不出结果，致使分析过程既困难又复杂。结论使用有限差分法求解电磁场边值问题是可行的，只要将网格取得足够小，是可以将离散的点看成连续的。但节点划分越多，迭代次数就越多，计算量就越大，所以计算时应根据实际需要，划分合适的节点数。