分类讨论的思想方法

专题四1四、分类讨论的思想方法[概述]：分类讨论在数学中既是一个重要的策略思想，又是一个重要的数学方法，很多数学问题涉及知识范围广，约束条件多，很难用统一方法解决，因此就从“分割”入手，将整体化为若干局部，每个局部问题相对确定，解法单一，比较容易解决，每个局部问题解决了，整体问题也就得到解决。即采用化整为零各个击破的方针。1。分类讨论的关键：1）找出分类的根源，明确为什么分类？2）找出分类的对策，明确怎样分类。一般地：1）使用数学性质，定理，公式视其限制条件，成立条件进行分类；如等比数列前n项和公式，要依据公比1q和1q得到两个不同的表达式；绝对值的性质；2）由概念引起的讨论，如直线与平面所成的角；3）由变形所需条件的限制引起的讨论；如方程0axb的解的情况；4）由图形的不确定性引起的讨论，如ABC到平面的距离分别为,,abc，求ABC重心到平面的距离；5）对于含有参数的问题对参数的允许值进行全面的讨论，如直线方程的点斜式和截距式；6）其它：根据实际问题具体分析进行讨论，如排列、组合问题，应用问题。2。分类讨论的解题步骤：1）确定讨论的对象以及全域；2）合理分类统一标准，作到不重，不漏；3）逐类讨论，分级进行；4）归纳总结得出整个题目结论。3。分类讨论的类型：1）问题中的变量或参数不确定性，需要分类讨论；2）问题的条件是分类给出的；3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；4）几何问题中，几何元素的形状、图象位置的变化需要分类讨论的。简化和避免分类讨论的方法：1）直接回避，如运用反证法、补集法、消参法。2）变更主元。3）合理简化运算。4）数形结合。[例题分析]例1：设集合{1,0,1},{2,3,4,5,6}MN，映射:fMN，使对任何xM，都有()()xfxxfx是奇数，这样的映射f有多少个？变式：设函数:{1,2,3}{1,2,3}f，满足(())()ffxfx，则这样的映射个数有：A：1个；B：4个；C：8个；D:10个。例2：设2{10},{320}AxaxBxxx，若AB，则a的值构成的集合是。例3：（对问题中变量或参数进行分类讨论）函数xya在[0,1]上最大值与最小值之差为3，则a的值是多少？变式：解关于x的不等式：20()xaaRxa变式：已知函数2()lg(2),fxxxm其中mR为常数，求这个函数的定义域。例4．（问题的条件是分类给出的，需要分类讨论）已知数列的前n项的和232nSnn求数列{||}na的前n项的和nP。例5．给出定点(,0)(0)Aaa，和直线:1,lxB是直线l上一动点，BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程并讨论方程表示的曲线类型与a的关系。例6．设函数()xxfxee。)证明：()fx的导数'()2fx。)若对所有0x都有()fxax，求a的取值范围。)（略）)令()()gxfxax，则'()'()xxgxfxaeea。专题四21）若2a，当0x时，'()'()20xxgxfxaeeaa，()gx在(0,)上为增函数，0x时，()(0)0gxg，即()fxax。2）若2a，方程'()0gx的正根为214ln2aax，此时若1(0,)xx，则'()0gx，故()gx在该区间为减函数，因此()(0)0gxg，即()fxax不符合要求。综上：满足条件的a的取值范围是(,2]。例7：（07山东）设2()ln(1)fxxbx，其中0b。1，当12b时，判断函数()fx在定义域上的单调性；2，求函数()fx的极值点；3，证明对任意的正整数n，不等式23111ln(1)nnn都成立。[分析]：()fx的定义域为(1,)222'()211bxxbfxxxx2112()221xbx，当12b时，'()0fx，结论成立。讨论:当12b时，无极值点；当12b时，'()fx212()21xx=0有两个相等的解12x，在12左右两侧'()fx符号相等，无极值。当12b时，'()fx=0有两个不同解12112112;22bbxx0b时，121,1xx，即12(1,),(1,)xx，且(),'()fxfx随x的变化情况如下表：x2(1,)x2x2(,)x'()fx0专题四3()fx极小值当102b时，1121,,(1,)xxx，(),'()fxfx随x的变化情况如下表：x1(1,)x1x12(,)xx2x2(,)x'()fx+0—0+()fx极大值极小值纵上所述：1b时，2()ln(1)fxxx，令3()()hxxfx，则例8：已知函数2221()()1axafxxxR，其中aR．（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(2(2))f，处的切线方程；（Ⅱ）当0a时，求函数()fx的单调区间与极值．（Ⅰ）解：当1a时，22()1xfxx，4(2)5f，又2222222(1)2222()(1)(1)xxxxfxxx·，6(2)25f．所以，曲线()yfx在点(2(2))f，处的切线方程为46(2)525yx，即62320xy．（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)axxaxaxaaxfxxx．由于0a，以下分两种情况讨论．（1）当0a时，令()0fx，得到11xa，2xa．当x变化时，()()fxfx，的变化情况如下表：x1a，∞1a1aa，a()a，∞()fx00()fx极小值极大值所以()fx在区间1a，∞，()a，∞内为减函数，在区间1aa，内为增函数．专题四4函数()fx在11xa处取得极小值1fa，且21faa，函数()fx在21xa处取得极大值()fa，且()1fa．（2）当0a时，令()0fx，得到121xaxa，，当x变化时，()()fxfx，的变化情况如下表：xa，∞a1aa，1a1a，+∞()fx00()fx极大值极小值所以()fx在区间()a，∞，1a，+∞内为增函数，在区间1aa，内为减函数．函数()fx在1xa处取得极大值()fa，且()1fa．函数()fx在21xa处取得极小值1fa，且21faa．例9：设函数2()()fxxxa（x∈R），其中a∈R，（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；（2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值；。（3）当a3时，证明存在[1,0]k，使得不等式22(cos)(cos)fkxfkx对任意的x∈R恒成立。（Ⅰ）解：当1a时，232()(1)2fxxxxxx，得(2)2f，且2()341fxxx，(2)5f．所以，曲线2(1)yxx在点(22)，处的切线方程是25(2)yx，整理得580xy．（Ⅱ）解：2322()()2fxxxaxaxax22()34(3)()fxxaxaxaxa．令()0fx，解得3ax或xa．由于0a，以下分两种情况讨论．（1）若0a，当x变化时，()fx的正负如下表：专题四5x3a∞，3a3aa，a()a，∞()fx00因此，函数()fx在3ax处取得极小值3af，且34327afa；函数()fx在xa处取得极大值()fa，且()0fa．（2）若0a，当x变化时，()fx的正负如下表：xa∞，a3aa，3a3a，∞()fx00因此，函数()fx在xa处取得极小值()fa，且()0fa；函数()fx在3ax处取得极大值3af，且34327afa．（Ⅲ）证明：由3a，得13a，当10k，时，cos1kx≤，22cos1kx≤．由（Ⅱ）知，()fx在1∞，上是减函数，要使22(cos)(cos)fkxfkx≥，xR只要22coscos()kxkxxR≤即22coscos()xxkkxR≤①专题四6设2211()coscoscos24gxxxx，则函数()gx在R上的最大值为2．要使①式恒成立，必须22kk≥，即2k≥或1k≤．所以，在区间10，上存在1k，使得22(cos)(cos)fkxfkx≥对任意的xR恒成立．例10：已知a、b、c、d是不全为零的实数，函数2()fxbxcxd，32()gxaxbxcxd，方程f(x)=0有实数根，且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根，反之，g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根。（1）求d的值；（2）若a=0，求c的取值范围；（3）若a=1，f(1)=0，求c的取值范围。解：（1）设r为方程的一个根，即()0fr，则由题设得(())0gfr．于是，(0)(())0ggfr，即(0)0gd．所以，0d．（2）由题意及（1）知2()fxbxcx，32()gxaxbxcx．由0a得bc，是不全为零的实数，且2()()gxbxcxxbxc，则22(())()()()()gfxxbxcbxbxccxbxcbxbcxc．方程()0fx就是()0xbxc．①方程(())0gfx就是22()()0xbxcbxbcxc．②（ⅰ）当0c时，0b，方程①、②的根都为0x，符合题意．（ⅱ）当0c，0b时，方程①、②的根都为0x，符合题意．（ⅲ）当0c，0b时，方程①的根为10x，2cxb，它们也都是方程②的根，但它们不是方程220bxbcxc的实数根．由题意，方程220bxbcxc无实数根，此方程根的判别式22()40bcbc，得04c．综上所述，所求c的取值范围为04，．（3）由1a，(1)0f得bc，2()(1)fxbxcxcxx，2(())()()()gfxfxfxcfxc．③由()0fx可以推得(())0gfx，知方程()0fx的根一定是方程(())0gfx的根．当0c时，符合题意．当0c时，0b，方程()0fx的根不是方程2()()0fxcfxc④的根，因此，根据题意，方程④应无实数根．专题四7那么当2()40cc，即04c时，2()()0fxcfxc，符合题意．当2()40cc≥，即0c或4c≥时，由方程④得224()2cccfxcxcx，即22402ccccxcx，⑤则方程⑤应无实数根，所以有224()402ccccc且224()402ccccc．当0c时，只需22240cccc，解得1603c，矛盾，舍去．当4c≥时，只需22240cccc，解得1603c．因此，1643c≤．综上所述，所求c的取值范围为1603，．例11：已知函数44()ln(0)fxaxxbxcx在x=1处取得极值―3―c，其中a，b，c为常数。（1）试确定a，b的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间；（3）若对任意x0，不等式2()2fxc恒成立，求c的取值范围。解：（I）由题意知(1)3fc，因此3bc