华南农业大学11年高等代数试卷(A)

1装订线华南农业大学期末考试试卷（A卷）2010-2011学年第2学期考试科目：高等代数II试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四五总分得分评阅人一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内。1.设21,VV是线性空间V的子空间，则下列集合不是V的子空间的是（）(A)21VV(B)21VV(C)21VV(D)}0{1V2.欧氏空间的度量矩阵一定是（）(A)正交矩阵；(B)正定矩阵；(C)上三角矩阵；(D)下三角矩阵.3.设A是3阶方阵，它的特征值分别为0、1、2，则下列矩阵可逆的是（）(A)2A;(B)2AA;(C)IA;(D)2IA.4.设A为数域P上秩为r的n阶矩阵，定义n维列向量空间nP的线性变换：(),nAP，则1dim((0))和dim(())nP分别为（）(A),rnr；(B),rr；(C),nrr；(D),nrnr.5.对于任意一个n级实对称矩阵A，则（）(A)A的特征值的绝对值等于1;(B)A有n个不同的特征值;(C)A的任意n个线性无关的特征向量两两正交;(D)存在正交矩阵T，使1TATTAT为对角形矩阵.得分2二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）6.设123,,是线性空间V的一组基，112233xxx，则由基123,,到基231,,的过渡矩阵T＝，而在基321,,下的坐标是.7.已知是数域P中的一个固定的数，而1{(,,...,),1,2,...,}niWaxxxPin是1nP的一个子空间，则＝，而dim()W_________.8.在欧氏空间4R中，已知(2,1,3,2),(1,2,2,1)，则=，与的夹角为_________.9.如果1V,2V是线性空间V的两个子空间,且()1dim3V=,()2dim2V=,12dim4VV,那么12dimVV为________10.设矩阵A和B相似，其中A=20022311x，B=10002000y,x_______，y______.三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，满分10分）11.设为n维线性空间V的一个线性变换，则由的秩＋的零度＝n，有1()(0)VV.（）12.设是线性空间V的一个线性变换，12,,...,s线性无关，则向量组12(),(),...,()s也线性无关.（）13.线性空间V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.（）14.设V是一个欧氏空间，,V,并且(,)0，则,线性无关.（）15.n维欧氏空间V上的正交变换在任一组标准正交基下的矩阵皆为正交矩阵．（）得分得分1.5CM3装订线四、计算题（本大题共25分）16.(满分8分)在4P中，求由1234,,,到1234,,,的过渡矩阵，其中1234(1,2,1,0),(1,1,1,1),(1,2,1,1),(1,1,0,1)1234(2,1,0,1),(0,1,2,2),(2,1,1,2),(1,3,1,2)17.（满分17分）设二次型12341234(,,,)22fxxxxxxxx（1）写出这个二次型的矩阵A；（2分）（2）求A的特征值及其线性无关的特征向量；（8分）（3）求一个正交线性替换X=TY，将1234(,,,)fxxxx化为标准形.（7分）得分1.5CM4五、证明题（本题共30分）18.(满分8分)设A，B都是实对称矩阵，证明：存在正交矩阵T，使得1TATB的充分必要条件是A，B有相同的特征值.得分1.5CM5装订线19.（满分12分）设是数域P上线性空间V的线性变换且2,证明：（1）1(0){()|};V（6分）（2）1(0)().VV（6分）20.(满分10分)已知是n维欧氏空间V的一个正交变换，证明：的不变子空间W的正交补W也是的不变子空间．6