华南理工大学200901期末考试2学分A解答

《概率论与数理统计》试卷第1页共5页华南理工大学期末考试注：标准正态分布的分布函数值9922.0)42.2(9975.0)81.2(9950.0)575.2(,8413.0)0.1(99.0)33.2(,975.0)96.1(,95.0)645.1(,9.0)285.1(一、（10分）假设一枚弹道导弹击沉航空母舰的概率为31，击伤的概率为21，击不中的概率为61，并设击伤两次也会导致航空母舰沉没，求发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰的概率？解：设iA＝｛第i枚弹道导弹击沉航空母舰｝，iB＝｛第i枚弹道导弹击伤航空母舰｝iC＝｛第i枚弹道导弹没有击中航空母舰｝，i＝1，2，3，4D＝｛发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰｝31iAP，21iBP，61iCP，i＝1，2，3，443214321432143214321BCCUCCBCUCCCBUCCCCUBCCCCD434432143214321432143216132161461BCCCPCBCCPCCBCPCCCBPCCCCPDP461311DPDP=0.99二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即2-10、J、Q、K、A），求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率；（3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。解：（1）A＝｛同花顺（5张同一花色连续数字构成）｝55255236)413(4CCAP（只要说明顺子的构成，分子40也算对）（2）A＝｛3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）｝《概率论与数理统计》试卷第2页共5页5522411234113CCCCCAP（3）A＝｛3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）｝552141421234113CCCCCCAP三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。假设过关人中有96%是非危险人物。问：（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少道这样的检查关卡？解：（1）设A＝｛被查后认为是非危险人物｝，B＝｛过关的人是非危险人物｝，则BAPBPBAPBPAP9428.005.004.098.096.0998.0APBAPBPABP（2）设需要n道卡，每道检查系统是相互独立的，则Ci={第i关危险人物被误认为非危险人物}，nnCCP05.01，所以999.005.01n，05.0ln0001.0lnn，即1005.0ln0001.0lnn=[3.0745]+1=4四、（8分）随机变量X服从),(2N，求0,aaYX的密度函数解：当1a时，1Y，则1110yyyFY当10a时，当0y时，0yYPyFY，0dyydFyfYY当0y时，yaXPyaPyFXYlnlnayXPyFYlnlnayayXPlnln1lnln1222)lnln(21ln1ayYYeaydyydFyf《概率论与数理统计》试卷第3页共5页当1a时，当0y时，0yYPyFY，0dyydFyfYY当0y时，ayXPyFYlnlnaylnln222)lnln(21ln1ayYYeaydyydFyf五、（12分）设随机变量X、Y的联合分布律为：-1012-2a000-10.14b0000.010.020.03010.120.130.140.15已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函数；（3）E(XY)。解：06.0315.0314.0213.0103.0101.0114.023babaYXE174.015.014.013.012.003.002.001.014.0baba联立解得：17.0a，09.0b（2）X的概率分布函数：-2-1010.170.230.060.54（3）E(XY)＝8.015.0214.0112.0114.0117.02六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。设调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10%以内，问n应取多大？解：95.01.0pnmP，因1,0~1Nnpppnm95.011.01nppnpppnmP，96.111.0975.0unppXYX《概率论与数理统计》试卷第4页共5页ppn16.192；因为4/11pp，取4/6.192n=96.04即97n七、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域：byax0,0上服从均匀分布。（1）求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知36,12DYDX，求参数a、b；（3）判断随机变量X与Y是否相互独立？解：（1）二维随机变量(X,Y)的联合概率密度：othersbyaxabyxf,00,0,/1),(边缘概率密度：othersaxaxfX,00,/1)(，othersbybyfY,00,/1)(（2）36)12/1(,12)12/1(22bDYaDX，312,12ba（3）随机变量X与Y相互独立，因为)()(),(yfxfyxfYX八、（8分）证明：如果cE3||存在，则3)|(|tctP解：3330||33||33||||)(||)(||)()|(|tctExdFtxxdFtxxdFtPxtxtx九、（12分）设（X，Y）的密度函数为其他010,10,),(yxAxyyxf（1）、常数A；（2）P(X0.4，Y1.3)；（3）sYtXEe；（4）EX，DX，Cov(X，Y)。解：（1）dxAxydydxdyyxf1010),(4A＝1，A＝4（2）P(X0.4，Y1.3)＝16.044.0010dxxydy（3）10104dxxydyeEesytxsYtX10101014dxdyessyexesysytx2222114ttetessesettss《概率论与数理统计》试卷第5页共5页（4）32410102dxydyxEX，214101032dxydyxEX91942122EXEXDX，XYE944101022dxdyyx0323294,EYEXEXYYXCov十、（8分）电视台有一节目“幸运观众有奖答题”：有两类题目，A类题答对一题奖励1000元，B类题答对一题奖励500元。答错无奖励，并带上前面得到的钱退出；答对后继续答题，并假设节目可无限进行下去（有无限的题目与时间），选择A、B类型题目分别由抛硬币的正、反面决定。已知某观众A类题答对的概率都为0.4，答错的概率都为0.6；B类题答对的概率都为0.6，答错的概率都为0.4。（1）求该观众答对题数的期望值。（2）求该观众得到奖励金额的期望值。解：（1）设表示该观众答对题数，,2,1,0则第+1次解答答错（即首次出错）。答对一题的概率为5.05.06.05.04.0BPBBAPAA＝题选择题选择题答对＋题选择题选择题答对答对题PPP答错一题的概率为0.5所以15.05.05.0)(kkkP；15.001kkkE（2）观众得到奖励金额的期望值：令答错题，题答对，题答对32,1BAX，则5.03.02.0321~X，))|((XEEE=05.0)500(3.0)1000(2.0EE700E或：答一题得到奖金的期望为：3505006.05.010004.05.0进入第k题答题环节的概率为：15.0k因此，总奖金的期望为：7005.035011kk