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哈尔滨工程大学攻读硕士学位研究生论文开题报告专业系统科学研究方向偏微分方程数值解法姓名刘昕昕指导教师审查意见：审查合格，同意存档。指导教师签字：年月日题目:1．本论文的研究目的及意义反问题研究起源于数理方程，因而也称为数理方程反问题或数学物理中的反问题。随着计算工具与计算方法的进步，反问题及其数值解法研究近20年来已经发展成为科学与工程技术领域中一个非常活跃的研究方向，展示了反问题研究的重大理论意义和广阔的应用前景。特别在地球物理科学、生命科学与医学、金融工程、材料科学、地质与环境科学、信息与控制等领域，反问题研究都获得了巨大的成功。从数学角度来说，反问题可以描述为，在已知问题的结果的情况下，确定问题的条件或者原因。与之不同的是，正问题是由已知问题的原因来确定结果的过程[1]。波动方程反问题是数学物理方程反演的一个重要分支，在许多领域中都具有广泛的应用，它既具有非线性和不适定性的本质性困难，在实际应用中又具有计算量巨大的问题，加之实际物理现象的复杂性，该反问题是一个十分难解决的数学问题。反演方法的优劣就成了反演成功与否的关键。因此开展波动方程反问题及其数值反演算法的研究具有理论意义[2]。另一方面，波动方程反演作为反问题研究的重要分支，是近四十年来兴起的一门新兴科学，在模式识别、大气测量、无损探伤、量子力学、图像处理，特别是地球物理勘探等领域有着重要的应用。例如，地震波在地下介质的传播可以用弹性波动力学中的各种波动方程来描述。地震资料的形成过程就可以用波动方程的正演来模拟，而界面影像及物理参数的提取问题就可以用波动方程的反演来实现。因此，波动方程反演的研究又具有实际应用价值。多孔隙介质理论考虑的是孔隙之中充满了可压缩黏性流体（如石油、水等）的多孔弹性固体，因此相比于单相介质理论而言，更接近实际地层的真实情况，其双相介质波动方程能够更细致地描述弹性波在地层中的传播[3]。因此，在地球物理勘探、油藏描述、言行勘探和开发地震等领域中起着广泛而重要的作用，一直受到地球物理学者的关注[3]。本文将主要针对波动方程的反问题[4-20]，进行多尺度反演算法的研究，试图构造出灵活实用的多种变异反演算法。因为这类反演问题的思想具有普遍意义，可以很容易地推广到其他领域。2．国内、外的研究动态，文献综述与分析，对论文立体的论证随着科学技术的进步、计算能力的增强，波动方程越来越引人注目。数学家、地球物理学家和其他领域的有关专家经过不断的努力发展了多种地震反演方法，基于求解方式的不同，将这些方法概括为传统方法、非线性反演方法、确定性算法和随机性算法。2.1传统方法2.1.1脉冲谱（改一改）脉冲谱是工程术语，英文为PulseSpectrumTechnique，(简称PST)．PST的基本思想是想在一个紧支集的时域中对测量数据采样，信息的发送和接收是在时域中进行，但综合分析则借助于Laplace和Fourier变换在频率域中进行，最后用Green函数理论将未知参数的微分方程转化为第一类Fredholm积分方程迭代求解．PST法由Tsien&Chen在1974年求解流体动力学理想速度反问题时提出．Chen等[18-20]用PST法反演了声脉冲方程的密度参数、二维线性波动方程的系数、三维线性弹性波方程的体积模量剪切模量和密度参数．Hatcher等反演了弱非线性波动方程的速度参数．Chen等反演了一维发展方程的多个参数．在这些基础上，Chen提出了GPST的理论．80年代末90年代初，国内学者对PST基本算法进行改进，匡正[24]提出避免计算Green函数或者矩阵求逆的修正PST法．陈维翰重新构造第一型Fredholm积分方程，并引入多重网格法使PST法计算量减少．韩波等构造了一种新的具有一定抗噪能力的GPST计算格式．钱建良等[27]用多重网格法求解正问题，在求解反问题时用有限元的技巧避开了Green函数的计算．刘财等[28]在只有一个附加条件的情况下求解了一维波动方程的双参数反问题并将算法应用到实际地震资料处理中．实践证明PST法是一种不受维数、方程类型的限制的反演方法，无论是双曲型方程的反问题、抛物型方程反问题或者是椭圆型方程的反问题都可以应用这种方法解决；而且还不受反问题类型的限制，待定参数的反问题、待定源项的反问题、待定区域边界的反问题或者待定边界的反问题都可以应用这种方法和这种方法的变形求解．但其收敛过程在理论上与初始猜测有关，并且计算量很大，耗费机时．2.1.2Born反演方法Born反演方法是由Cohen和Bleistein在1977年提出一种求解你散射问题的扰动方法。Born反演方法的优点是将一个非线性反演问题转化为线性问题，使反演过程大大简化，同时计算量也大大减少。其缺点是要求给出一个非常接近真实地层的背景模型，而此时的背景模型是很难给出的，其次是要求扰动参数必须很小，当扰动参数较大时，反演结果误差较大。而只有当初始的速度模型在目标函数的全局极小点时，近似线性化的关系才能成立。2.1.3时卷特征正则化方法)(TCCR针对波动方程的奇异性沿特征线传播的特点，Xie提出了时卷特征正则化方法)(TCCR。随后Xie和Li等人又将此思想应用到散射势反问题与PS波速和声波系数反演问题。此方法的主要思想是构造恰当的卷积算子，将原来的微分方程反问题转化为非线性积分几何方程，再设法推得其Frechet导算子来构造Newton迭代格式。数值模拟结果表明：此方法还是比较可靠的，而且计算量大大减少。该方法存在的问题是迭代方法所固有的通病即局部收敛性。2.1.4自适应正则化方法AvilaSanfhezC.等人于1996年提出了一种求解反问题的新方法。该方法是基于该方法是基于凸集投影上的自适应正则化算法。它本质上属于一种迭代方法。其基本思想是通过寻找一列给定凸集的共同元素，并将他作为原命题的解，而这列凸集是根据解的前验信息或问题的特征建立起来的。实际应用表明，该方法不仅能很好的克服反问题的不适定性，而且在正则化方法的基础上引进自适应算法，从而大大提高了反演的效率。2.1.5多尺度反演方法多尺度反演方法的基本思想是对反演的目标函数进行多尺度分解，从较粗尺度开始，由于较粗尺度下目标函数呈现较强的凸性及较少的局部极值，很有利于收敛至优化解，因此可以先在粗尺度上迭代反演，得到一个比较好的参数估计，再将这个估计作为较小尺度的初速度进行反演，直到反演出原问题的全局最优解．Bunks等[38]采用多重网格法将地震数据分解在不同的尺度上，对复杂的二维Marmousi模型进行了多尺度迭代反演．杨丽华等[39]将待求参数分解成包含从低波数带到高波数带的许多版本，从而实现了波动方程密度及弹性模量的逐版本反演．孟鸿鹰等[40]应用多尺度地震波形反演的小波变换方法求解一维非线性地震波形反演问题．马坚伟等[41]通过引入小波分析提出了多尺度地震波形反演方法．李清仁等[42]在每一尺度下利用正则化方法反演求解，克服了反演问题的不适定性，获得全局最优解，使得反演结果的分辨率和保真性得到提高．张新明等[43]将小波多分辨分析和多尺度方法结合的小波多尺度反演方法反演了一维双相介质孔隙率．这类方法只是在做数值反演计算，应用到实际资料处理中需要深入研究．2.2非线性算子反演方法近年来，一些学者为了避开PST法中Green函数的计算等一些问题，他们将偏微分方程反问题转化为非线性算子方程问题．刘家琦等[29,30]将牛顿法和正则化方法结合求解非线性算子方程，并给出了更实用的离散格式．鉴于牛顿正则化方法是一种局部收敛的方法，韩波等[31]联合微分连续法和正则化方法求解非线性算子方程．王守东等[32]用最小二乘和正则化联合的方法求解了二维声波方程的速度反演问题，构造了一种对模型不做任何假设，对初始值没有苛刻要求的算法．韩波等[33]用正则化和同伦方法相结合的方法求解了二维波动方程反问题，构造了一种兼有大范围收敛和稳定性的计算格式．冯国锋等[34]将同伦方法和正则化方法结合构造一种大范围收敛的广义脉冲谱法，并数值模拟了测井资料约束下的二维波动方程的速度反演．傅红笋等[35]造了正则化一同伦方法，在方法中引入了迭代一正则一Gauss算法，用此方法数值模拟了二维波动方程速度反演．贺英等[36]针对二维流体饱和多孔隙介质波动方程，采用小波一自适应同伦方法通过数值计算来反演不同油藏开采时间段的孔隙度,张丽琴等[37]在非线性算子问题求解中引用同伦方法．数值反演一维波动方程波阻抗参数；将方法应用于新疆某地匹的测井资料反演中．取得很好的效果，可以看到没有噪卢时．实测渡阻抗与用该方法计算得到的波阻抗基本吻合。2.2.1确定性算法梯度下降法gradient()descent是一个最优化算法，通常也称为最速下降法。最速下降法是求解无约束优化问题最简单和最古老的方法之一，虽然现在已经不具有实用性，但是许多有效算法都是以它为基础进行改进和修正而得到的。最速下降法是用负梯度方向为搜索方向的，最速下降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。拟牛顿法NewtonQuasi()Methods是求解非线性优化问题最有效的方法之一，于20世纪50年代由美国Argonne国家实验室的物理学家DavidonCW..所提出来。Davidon设计的这种算法在当时看来是非线性优化领域最具创造性的发明之一。不久FletcherR.和PowellDJM...证实了这种新的算法远比其他方法快速和可靠，使得非线性优化这门学科在一夜之间突飞猛进。在之后的20年里，拟牛顿方法得到了蓬勃发展，出现了大量的变形公式以及数以百计的相关论文。拟牛顿法和最速下降法Steepest(Descent)Methods一样只要求每一步迭代时知道目标函数的梯度。通过测量梯度的变化，构造一个目标函数的模型使之足以产生超线性收敛性。这类方法大大优于最速下降法，尤其对于困难的问题。另外，因为拟牛顿法不需要二阶导数的信息，所以有时比牛顿法sNewton,()Methods更为有效。如今，优化软件中包含了大量的拟牛顿算法用来解决无约束，约束，和大规模的优化问题。共轭梯度法Conjugate()Gradient最早是由提出来在这个基础上，Flettcher和evesRe（1964）首先提出了解非线性最优化问题的共轭梯度法。共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。2.2.2随机性算法遗传算法适应性强的染色体优生)的总体趋向性．遗传算法由三个基本算子组成：选择(繁殖)算子，杂交算子和变异算子．遗传算法不受搜索空间的限制性假设的约束，不要求函数的诸如连续性、导数存在和单峰等假设，搜索过程灵活。能够以很大的概率收敛于全局最优解，其本身就是多组模型的杂交变异的多路计算，特别适合于并行机或多个CPU的计算机的执行，这一优点是其它非线性反演方法所不及的；缺点是遗传算法由于自拷贝现象使得计算量大，收敛速度慢，其数学物理基础不是很完善可能只对某些地球物理问题适用[10，11，44]．模拟退火算法模拟的是退火的过程，物质先被溶化，然后逐渐冷却；在冷却过程中，有可能产生非晶体状的亚稳态玻璃体，也有可能最终产生稳态的晶体．如果把晶体的生成模拟成对目标函数整体极值的搜索，把玻璃体的生成模拟成错误地搜索到局部极值，则可以将模拟退火法用来解决非线性问题．模拟退火法具有超越局部极小、搜索全局极小的能力，但由于每次迭代要求有足够多的计算，对于多维反演问题其计算量过大，收敛速度非常慢[10，11，44]。模拟退火算法和遗传算法已引起地球物理学界的重视，这些算法正被逐步应用于地震参数反演中，如单启铜[10]应用遗传模拟退火算法做了粘弹介质中的参数反演，王超[11]用改进的遗传算法反演了波阻抗参数，