刚体力学习题课.

刚体可以看成由许多质量元组成的一个系统，在其作定轴转动的过程中各质量元的位移、速度和加速度等线量是可以各不相同的，但是各质量元的角位移、角速度和角加速度等角量却是相同的。掌握刚体运动的这种特性是解决问题的关键，因为角量是刚体整体运动特征的描述，而线量则是刚体上各个质量元运动的描述。刚体力学习题课一、刚体的运动描述：平动→质点的运动转动→定轴转动,定点转动平面运动→质点的运动(质心)+定轴转动(过质心轴)rararvn2刚体力学习题课二、刚体转动定律：转动惯量J具有可加性。要记住几种常用的绕质心轴的转动惯量，并会用平行轴定理和补偿原理来求解各种复合刚体的转动惯量。JM解决刚体动力学问题，力的隔离体分析仍然是关键，特别是系统中既有质点平动又有刚体转动的联动问题，必须将牛顿定律和转动定律联合。三、质心运动（代表整个刚体与外界的作用及运动）如计算轴对刚体的作用力等问题时特别有用CyiyCxixCimaFmaFamF四、刚体的机械能及守恒定律：（在计算速度v、升降距离h、转过角度和作功等问题很方便！）222212121CCKmvJJE（定轴）刚体的动能CPmghE用质心的势能来代表刚体的势能刚体力学习题课五、刚体的角动量及守恒定律：（质点和刚体碰撞时特别有用）①质点和定轴刚体的碰撞，系统动量不守恒，角动量守恒；②质点和自由刚体的碰撞，系统动量、角动量均守恒。JLmvrL刚体：质点：刚体力学习题课常量则若转动定律刚体定轴转动JL,0MJJLLdtMLddtMdtLddt)J(ddtdJJM:JL000tt0平面运动绕质心轴的转动随质心的平动六、绕瞬时轴的转动自由度所谓自由度就是决定这个系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目。考虑到刚体既有平动又有转动，其独立坐标数由质心坐标，转轴的方位角与刚体绕转轴的转动角度决定。oxyzC(x,y,z)首先确定质心位置。空间任何一个点需要三个独立坐标来确定位置，因此用三个坐标如C(x,y,z)来决定质心位置。其次刚体的方位由其轴的取向决定，确定空间直线的方位坐标有两个，借用纬度角与经度角来描述，在直角坐标系中，采用用、，如图所示：oxyzp最后，刚体绕定轴转动时，需要一个坐标来描述，选定参考方向后，转动位置用表示。总的说来，刚体共有6个自由度，其中3个平动自由度，3个转动自由度。物体有几个自由度，它的运动定律可归结为几个独立的方程。自由度例1、一质量m、半径R的均质圆柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。解：设静摩擦力f的方向如图所示，则由质心运动方程：CmafF圆柱对质心的转动定律CJRflF纯滚动条件为RaC圆柱对质心的转动惯量为FaC221mRJC解得:flmRlRFaC3)(2FRlRf32由此可见lR/2,f0,静摩擦力向后lR/2,f0,静摩擦力向前L=R/2,f=0*也可解出,通过比较,求f方向.)0(0RaC例题2、一个质量为m、半径为R的均匀薄圆盘在水平桌面上绕中心轴转动，开始角速度为0，当圆盘与桌面的摩擦系数为时，问经过多长时间才能停下来？mgR32rdr2gMrmrrdr2grmgdMdrdrR02f2f为则小圆环受的摩擦力矩的小圆环，、宽度为取一半径为力矩。圆盘转动过程中的摩擦解：本题的关键是求出g4R3t0t,R3g4mR21MJM0002ff又由：刚体力学习题课Rrdr例3、A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为：A=50rad.s-1,B=200rad.s-1。已知A圆盘半径RA=0.2m,质量mA=2kg,B圆盘的半径RB=0.1m,质量mB=4kg.试求两圆盘对心衔接后的角速度.ABAB解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向正压力，但他们均不产生力矩；圆盘间切向摩擦力属于内力。因此系统角动量守恒，得到2,2)(22BBBAAABABBAARmJRmJJJJJ2222BBAABBBAAARmRmRmRm1srad100刚体力学习题课例题4、有一质量为m′、长为l的均匀细杆静止在光滑的水平桌面上，可绕通过细杆一端的竖直光滑钢钉转动。有一质量为m的小球以垂直于杆的水平速度v0与杆的另一端碰撞，碰撞后小球以速度v反向弹回。设碰撞时间很短，求碰撞后细杆转动的角速度；若碰撞前拔去钢钉，碰撞后细杆的角速度又如何？v0vm、lM、O解：质点与有转轴的细杆组成系统，轴对杆有冲力，故动量不守恒。但轴对杆的冲量矩为零，故系统对O点的角动量守恒lm)vv(m3mvllm31lmv'02'0刚体力学习题课'ml若拔去钢钉，细杆成为水平桌面上的自由刚体，故碰撞后细杆的运动为随质心的平动和绕质心的转动，因此水平方向的动量守恒和对质心轴的角动量守恒。2lmvJ2lmvmvvmmvC0C'0lm)vv(m6m)vv(mv'0'0C刚体力学习题课v0vm、lM、O'ml例5、一长为l、质量为m的匀质细杆，可绕光滑轴O在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0的子弹水平射入与轴相距为a处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到q=300，求子弹的初速v0。解：分两个阶段进行考虑avmL000JL22031mlamJ其中a0m(1)子弹射入细杆,使细杆获得初速度。因这一过程进行得很快,细杆发生偏转极小,可认为杆仍处于竖直状态。子弹和细杆组成待分析的系统,无外力矩,满足角动量守恒条件。子弹射入细杆前、后的一瞬间,系统角动量分别为定轴转动刚体的角动量守恒定律(2)子弹随杆一起绕轴O转动。以子弹、细杆及地球构成一系统，只有保守内力作功，机械能守恒。选取细杆处于竖直位置时子弹的位置为重力势能零点，系统在始末状态的机械能为：由角动量守恒，得：avmJ00(1))2(2120lamgJE势能零点)cos2()cos1(0lamggamEa0m定轴转动刚体的角动量守恒定律由机械能守恒，E=E0,代入=300，得：)212()211()2(2102lamggamlamgJgammlammlamv)3)(2(6321202000将上式与联立，并代入J值，得avmJ00定轴转动刚体的角动量守恒定律习题3-45求：fF=25N43.0)()()(17)(/2/10)((222222mgmRJmRrJFmgNmRJmRrJFffFNmRJmRrJFfsmRasradmRJrRFFRaRaJFrfRmafFcccc无滑动条件：即：得：动无论多大）只产生纯滚要求由：？无滑动的,f,a,c刚体力学习题课力学复习习题3-59一辆很长的平板车上,有一个均匀小球,原来车和小球均静止。若车突然开始以加速度ai沿水平路面作匀加速直线运动,小球在车上作纯滚动。求经过时间t,小球相对地面已移动的距离。(设小球还未离开车)2i2cciicc2iccita71ta21xRaa72aaamR52fRa75a:amfma:1解得以车为参考系解75,75,57)(:222iciCOiaRaRamRmRJJRma瞬时轴方法解imafCox⊙O712172:52:3222tataxaRaaaaamRfRmaficiiccicc解得以地面为参考系解foxCl2g3cos,0MMsinrg)Sdr(Mcosrsinr)Sdr(MS,26.32121l02l021解得因杆静止（为取微分元）、设考系中解：在相对杆静止的参？求稳定转动时的odmgdFdrro刚体力学习题课3-40、质量m、长l的匀质细杆可绕通过其端点O的光滑水平轴转动。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在光滑地面上质量为(1/3)m的小物弹性碰撞。求碰撞后小物的速度。解：（1）、摆下过程，机械能守恒。CO212ml31212lmg碰撞过程角动量、动能守恒1222ml313mvlml31glvmlvmml3312132131212122222刚体力学习题课3-41解：人跳出时，设筏绕相对河岸静止的轴转动，人和筏系统动量守恒、角动量守恒。MlmvMlJmvlJMlmvxlVmvMVxlMMlJxlmvJcccc6121026)2(,0)2(1210)(222对质心：解得：xαl刚体力学习题课acmgT22'''2'271217275525933132,3221463tataxaaaaaaRamRfRmafmamgTgaRgRamRTRmaTmglclclclccclccc球对地：球对地：解得：解：解得：解：平面运动，a’cmalf刚体力学习题课R)3(csc)cos1(3)sin31()cos1(321212cos22121sin2sin2cos2?22222glvlgmlJlmglmgJmvldtdldtdxvlxvcccccc解得：倒下过程中机械能守恒的位置解：质心在倒下过程中时，求：夹角3-58cvl刚体力学习题课22222222004924)2(21213222,22774,724)2(221)2(21212145sin245sin22)1(60.3occkccoococccoococmvVmJExlxVxNNVxtNxtvvCvVlvlmJmvVmJmvlmvJlmvmvmVmv时的动能）、质心移动（故圈，则，转了时间质心移动）、设经（球速度为碰后质心速度为解得碰后杆的角速度为，即：量、角动量、动能守恒、碰撞过程中，系统动、解：刚体力学习题课俯视逆时针方向。）旋进角速度：（）自旋角动量：解：（度自旋角动量，旋进角速，求已知回转半径222290sin2sin2161.3GoGGGRglmRlmgLMmRJLRll2刚体力学习题课