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第第33章章zz变换变换••3.03.0引言引言••3.13.1zz变换变换••3.23.2zz变换收敛域的性质变换收敛域的性质••3.33.3zz反变换反变换••3.43.4zz变换收敛域的性质变换收敛域的性质••3.53.5小结小结3.03.0引言引言傅里叶变换非常重要傅里叶变换非常重要傅里叶变换不是所有序列都收敛。傅里叶变换不是所有序列都收敛。ZZ变换概念比傅里叶变换更简单。变换概念比傅里叶变换更简单。离散时间信号的离散时间信号的ZZ变换和连续时间信号变换和连续时间信号的拉普拉斯变换相对应。的拉普拉斯变换相对应。3.13.1zz变换变换••序列序列••其傅里叶变换其傅里叶变换••ZZ变换变换••其中其中zz为复变量，是一个以实部为横坐标，为复变量，是一个以实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面上的变量，这个虚部为纵坐标构成的平面上的变量，这个平面也称平面也称zz平面。平面。••ZZ变换算子变换算子[]()[]()[]jjnnnnxnXexneXzxnzωω∞−=−∞∞−=−∞==∑∑••双边双边zz变换变换••单边单边zz变换变换∑∞−∞=−=nnznxzX][)(∑∞=−=0][)(nnznxzX0][=nx仅当仅当n0n0时时，双边，双边==单边单边可以把单边可以把单边zz变换看成是双边变换看成是双边zz变换的一种特例，变换的一种特例，即因果序列情况下的双边即因果序列情况下的双边zz变换。变换。对于对于两者相同。即傅里叶变两者相同。即傅里叶变换是换是ZZ变换的特例变换的特例此时在此时在zz平面上是一个半径为平面上是一个半径为11的圆，称为的圆，称为单位圆单位圆ZZ变换和傅里叶变换的关系变换和傅里叶变换的关系()[][]jnnjnnnzreXzxnzxnreωω∞∞−−−=−∞=−∞===∑∑1=z••ZZ变换的收敛域变换的收敛域一般，序列的一般，序列的ZZ变换并不一定对任何变换并不一定对任何zz值值都收敛，都收敛，zz平面上使上述级数收敛的区平面上使上述级数收敛的区域称为域称为““收敛域收敛域””ROCROC。。我们知道，级数一致收敛的条件是绝对我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因此值可和，因此zz平面的收敛域应满足平面的收敛域应满足∞∑∞−∞=−nnrnx][因为对于实数序列，因为对于实数序列，因此，因此，|z||z|值在一定范围内才能满足绝对值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为可和条件，这个范围一般表示为RRxx--〈〈||z|z|〈〈RRxx++∞=∑∑∞−∞=−∞−∞=−nnnnznxznx][][这就是收敛域，一个以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域，Rx-和Rx+称为收敛半径，Rx-和Rx+的大小，即收敛域的位置与具体序列有关，特殊情况为Rx-或Rx+等于0，这时圆环变成圆或空心圆。−xR]Re[z]Im[zj+xR••ZZ变换的表示方法变换的表示方法––级数形式；级数形式；––解析表达式（注意只表示解析表达式（注意只表示收敛域上的函数，同时要注明收敛域）。。••零点：使零点：使X(z)=0X(z)=0的的zz值值称为称为X(z)X(z)的的零点。零点。••极点：使极点：使X(z)X(z)无穷大的无穷大的zz值值称为称为X(z)X(z)的的极点。极点。)()()(zQzPzX=••11））右边序列右边序列（即序列在（即序列在为为00））––收敛域收敛域∞1Nn1010[][]()[]()()nnnnnnnnxnaunXzaunzazaz∞∞−−=−∞=∞−====∞∑∑∑11−az收敛域内收敛域内azzazazzXnn−=−==−∞=−∑10111)()(az••零点零点00••极点极点aa••当当––傅里叶变换不收敛傅里叶变换不收敛1a*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。]Re[z]Im[zj−za••22）左边序列）左边序列（即序列在（即序列在为为00））––收敛域收敛域−∞2Nn111110[][1]()[1]()()1()nnnnnnnnnnxnaunXzaunzazazaz∞−−−=−∞=−∞∞∞−−−===−−−=−−−=−=−=−∑∑∑∑101()1nnazaz∞−=−∞∑••收敛域内收敛域内azzazzazX−=−=−−=−−1111111)(az••零点零点00••极点极点aa••当当––傅里叶变换不收敛傅里叶变换不收敛1a]Re[z]Im[zjb••两个序列的和两个序列的和––收敛域收敛域且且––所以所以––收敛域内收敛域内][31][21][nununxnn⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=2/1z3/1z2/1z••33）双边序列）双边序列––利用利用例例3.13.23.13.2的结论的结论]1[21][31][−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=nununxnn1111[]1/3131311[1]1/21212nnunzzunzz−−⎛⎞−↔⎜⎟⎝⎠+⎛⎞−−−↔⎜⎟⎝⎠−––收敛域收敛域––没有傅立叶变换没有傅立叶变换2/13/1z••44）有限长序列（即序列仅在）有限长序列（即序列仅在为非零值）为非零值）21NnN≤≤211110011101()[][]0()()1()11nNnnNNNnnnnnNNNNanNXzxnzxnothersXzazazazzaazzza−=−−−−==−−−⎧≤≤−⎪==⎨⎪⎩==−−==−−∑∑∑••记住基本变换对记住基本变换对110||||0Nnnazaz−−=∞∞≠∑收敛域（因为只有有限个非零项，所以只要收敛域（因为只有有限个非零项，所以只要每项有限）每项有限）3.2z变换收敛域的性质••1.ROC1.ROC在在zz平面是中心在原点的圆环或平面是中心在原点的圆环或圆盘。圆盘。••2.2.当且仅当当且仅当x[n]x[n]的的zz变换的变换的ROCROC包括单包括单位圆时，位圆时，x[n]x[n]的的傅里叶变换才绝对收敛。傅里叶变换才绝对收敛。••3.ROC3.ROC不能包括任何极点。不能包括任何极点。••4.4.若若x[n]x[n]是一个有限长序列，即一个序是一个有限长序列，即一个序列的除了在有限区间列的除了在有限区间∞≤≤∞−21NnN其余值均为其余值均为00，那么，那么ROCROC就是除就是除z=0z=0或或z=z=外的整个外的整个zz平面。平面。••5.5.若若x[nx[n]]是一个右边序列，即一个序列的是一个右边序列，即一个序列的在在为为00，那么，那么ROCROC是从是从X[xX[x]]的最的最外面（幅度最大）有限极点向外（幅度最大）有限极点向外延伸至（可能包括）延伸至（可能包括）。。∞1Nn∞=z••6.6.若若x[n]x[n]是一个左边序列，即一个序列的在是一个左边序列，即一个序列的在为为00，那么，那么ROCROC是从是从X[x]X[x]的最的最里面（幅度最小）有限极点向内延伸至（可里面（幅度最小）有限极点向内延伸至（可能包括）能包括）。。−∞2Nn0=z7.7.一个双边序列是一个无限长序列，他即不一个双边序列是一个无限长序列，他即不是左边序列，也不是右边序列。他的是左边序列，也不是右边序列。他的ROCROC由圆环组成，其内外边界均由某一极点界由圆环组成，其内外边界均由某一极点界定，且其内部不包括任何极点。定，且其内部不包括任何极点。8.ROC8.ROC是一个连通域。是一个连通域。收敛性依赖于收敛性依赖于对应对应zz平面上的圆平面上的圆••1.ROC1.ROC在在zz平面是中心在原点的圆环或平面是中心在原点的圆环或圆盘。圆盘。∞∑∞−∞=−nnrnx][zz2.2.当且仅当当且仅当x[n]x[n]的的zz变换的变换的ROCROC包括单位圆时包括单位圆时，，x[n]x[n]的傅里叶变换才绝对收敛。的傅里叶变换才绝对收敛。单位圆单位圆对应对应的收敛域。的收敛域。••zz变换为傅里叶变换变换为傅里叶变换••即即为傅里叶变换的为傅里叶变换的ROCROC。。1=z1=z1=z••3.ROC3.ROC不能包括任何极点。不能包括任何极点。••极点使得极点使得••即即X(z)X(z)不收敛。不收敛。∞=)(zX••4.4.若若x[n]x[n]是一个有限长序列是一个有限长序列••X(z)X(z)是有限项的级数和，只要级数每一项是有限项的级数和，只要级数每一项有界，有限项和也有界，所以有限长序列有界，有限项和也有界，所以有限长序列zz变换的收敛域取决于变换的收敛域取决于|z||z|--nn∞∞，，N1N1≤≤nn≤≤N2N2。。••显然显然|z||z|在整个开域（在整个开域（00，∞）都能满足以，∞）都能满足以上条件，因此有限长序列的收敛域是除上条件，因此有限长序列的收敛域是除00及及∞两个点（对应∞两个点（对应n0n0和和n0n0不收敛）以外不收敛）以外的整个子平面：的整个子平面：••0|z|0|z|∞∞••如果对如果对NN11，，NN22加以一定的限制，如加以一定的限制，如NN11≥≥00（（nn≥≥00）或）或NN22≤≤00（（nn≥≥00）），，则根据条件则根据条件||z|z|--nn∞∞（（NN11≤≤nn≤≤NN22），），收敛域可进一步扩大为包括收敛域可进一步扩大为包括00点或∞点的点或∞点的半开域：半开域：⎪⎩⎪⎨⎧≤∞≤≥∞≤0||00||021NzNz•5.若x[n]是一个右边序列•如果n10,则选择任一整数n20,使得•由于第一项为有限长序列的Z变换，在（0，∞）收敛。对于第二项，总能在（0，∞）找到|z|=R（如R≥2MAX[X(n)])满足2112211()()()(),nnnnnnnnnnnnnxnzxnzxnzxnR∞∞−−−===+∞−=+=+∞∑∑∑∑•所以X(z)在|z|=R上收敛。•由此可进一步证明，在R圆以外，即R|z|∞，x（Z）也必收敛。•再看第二项，由于nn2≥0，|Z|R，因此|z|-nR-n，•因此•由此证明右边序列的收敛域为|z|〉Rx-2112211()()()(),nnnnnnnnnnnnnxnzxnzxnzxnR∞∞−−−===+∞−=+=+∞∑∑∑∑••6.6.若若x[n]x[n]是一个左边序列是一个左边序列••如如xx（（zz））在在|z|=R|z|=R上收敛，即上收敛，即••••则在则在00〈〈|z||z|〈〈RR上也必收敛，任选一整数上也必收敛，任选一整数n1n1≤≤00，，••∴∴整个级数在整个级数在|z||z|〈〈RR上有上有收敛域收敛域|z|Rx+|z|Rx+222211()()()()()nnnnnnnnnnnnnXzxnzxnzxnzxnz−=−∞−−−−=−∞==−∞==+∑∑∑∑••7.7.一个双边序列一个双边序列••可看作一个左边序列和一个右边序列之可看作一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列和，因此双边序列zz变换的收敛域是这两个变换的收敛域是这两个序列序列zz变换收敛域的公共部分。变换收敛域的公共部分。••果果RRx+x+RRxx--，，则存在公共的收敛区间，则存在公共的收敛区间，XX（（zz））有收敛域，有收敛域，••RRxx--|z|R|z|Rxx--••如如RRx+x+RRxx--，，无公共收敛区间，无公共收敛区间，XX（（zz））无无收敛域，不收敛。收敛域，不收敛。••稳定性、因果性和稳定性、因果性和ROCROC••稳定性稳定性h[n]h[n]绝对可加（即存在傅立业变绝对可加（即存在傅立业变换）换），，ROCROC包含单位圆。包含单位圆。••因果性，因果性，h[n]h[n]为右边序列为右边序列。。••作业：作业：••11版版––P602.33P602.33––P1584.14.34.6P1584.14.34.6••22版版––P732.76P732.76––P1033.13.33.4P1033.13.33.43.3z3.3z反变换反变换•3.3.1观察法•3.3.2部分分