2015年沈阳市高三质量监测(二)数学(文科)

高三数学（文科）试题第1页（共12页）2015年沈阳市高三质量监测（二）数学（文科）沈阳命题：沈阳市第四中学孙玉才沈阳市第二十中学金行宝沈阳市第九中学付一博沈阳市第一二0中学潘戈沈阳市回民中学庞红全沈阳市第二十八中学陶慧沈阳主审：沈阳市教育研究院王恩宾一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{11}Axx，{02}Bxx，则AB（）（A）[1,0]（B）]2,1[（C）[0,1]（D）(,1][2,)2.设复数1zi（i是虚数单位），则2z=（）（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i3.已知,1ab=2，且ab，则ba为（）（A）2（B）3（C）2（D）224.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为,,abc,222abcbc，4bc，则△ABC的面积为（）（A）12（B）1（C）3（D）25.2x是2320xx成立的（）（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输出的S为1112，则判断框中填写的内容可以是()（A）6n（B）6n（C）6n（D）8n7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）（A）323（B）64（C）3233（D）643高三数学（文科）试题第2页（共12页）8.函数()2cos()(0)fxx对任意x都有()()44fxfx，则()4f等于()（A）2或0（B）2或2（C）0（D）2或09.在平面直角坐标系中，若(,)Pxy满足44021005220xyxyxy，则2xy的最大值是（）（A）2（B）8（C）14（D）1610.已知抛物线:Cxy42的焦点为F，直线3(1)yx与C交于,(ABA在x轴上方）两点．若AFmFB，则实数m的值为（）（A）3（B）32（C）2（D）311.若关于x方程log(0,1)axbbaa有且只有两个解，则（）（A）1b（B）0b（C）1b（D）0b12.定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()fx称为M函数：①对任意的x，总有()0fx；②当12120,0,1xxxx时，总有1212()()()fxxfxfx成立，则下列函数不是M函数的是（）（A）2()fxx（B）()21xfx（C）2()ln(1)fxx（D）2()1fxx高三数学（文科）试题第3页（共12页）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13.函数13sincos22yxx([0,]2x)的单调递增区间是__________.14.将高一9班参加社会实践编号为：1，2，3,…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是.15.已知定义在R上的偶函数()fx在[0,)单调递增，且(1)0f，则不等式(2)0fx的解集是.16.如图，半球内有一内接正四棱锥SABCD，该四棱锥的体积为423，则该半球的体积为.三.解答题：（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）等差数列}{na的前n项和为nS，且满足299,9971Saa.（Ⅰ）求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）设nnSb21，数列}{nb的前n项和为nT，求证：43nT.高三数学（文科）试题第4页（共12页）18.（本小题满分12分）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班65798乙班48977（Ⅰ）从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？（Ⅱ）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且kABAE，点F为PD中点.（Ⅰ）若21k，求证：直线AF//平面PEC；（Ⅱ）是否存在一个常数k，使得平面PED⊥平面PAB.若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.高三数学（文科）试题第5页（共12页）20.（本小题满分12分）已知椭圆C:22221(0)xyabab的上顶点为(0,2)，且离心率为32，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：过圆222xyr上一点00(,)Qxy的切线方程为200xxyyr；（Ⅲ）从椭圆C上一点P向圆221xy上引两条切线，切点为,AB.当直线AB分别与x轴、y轴交于,MN两点时，求MN的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数23)(axxxf，常数aR.（Ⅰ）若1a，过点(1,0)作曲线()yfx的切线l，求l的方程；（Ⅱ）若曲线)(xfy与直线1yx只有一个交点，求实数a的取值范围.高三数学（文科）试题第6页（共12页）请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点.，（Ⅰ）求证：OCAD//；（Ⅱ）若圆O的半径为2，求OCAD的值.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为sin24cos23yx（为参数）（Ⅰ）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）已知(2,0),(0,2)AB，圆C上任意一点),(yxM，求△ABM面积的最大值.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()222fxxx．（Ⅰ）求不等式2)(xf的解集；（Ⅱ）若xR，27()2fxtt恒成立，求实数t的取值范围．高三数学（文科）试题第7页（共12页）2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题（1）C；（2）A；（3）B；（4）C；（5）A；（6）C；（7）D；（8）B；（9）C；（10）D；（11)B；（12）D．二.填空题（13）[0,]6；（14）17；(15)(,1][3,)；（16）423.三.解答题（17）解：（Ⅰ）设数列}{na的公差为d，则由已知条件可得：29936996211dada，…2分解得1231da，…………………………4分于是可求得212nan.………………………………6分（Ⅱ）因为2)2(nnSn，故)211(21)2(1nnnnbn，………8分于是)211123(21)]21514131()131211[(21nnnnTn.……10分高三数学（文科）试题第8页（共12页）又因为211123nn23，所以43nT.………………………………12分(18)解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7，……………………………………1分甲班的方差22222216-7+-7+-7+-7+-7=25s（）（5）（7）（9）（8），……………3分乙班的方差2222222-7+-7+-7+-7+-714=55s（4）（8）（9）（7）（7），……………5分因为2212ss，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定.……………6分(Ⅱ)甲班1到5号记作,,,,abcde，乙班1到5号记作1,2,3,4,5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为={1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5}aaaaabbbbbcccccdddddeeeee，…………………8分由25个基本事件组成，这25个是等可能的；将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A，则{1,1,1,1,2,4,5,1,4,5}Aabcddddeee，A由10个基本事件组成，…………10分所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为102255.…………12分(19)解：(Ⅰ)证明：作FM∥CD交PC于M.…………………………………2分∵点F为PD中点，∴CDFM21.∵21k，∴FMABAE21，…………4分∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM.∵AFPECEMPEC平面，平面，∴直线AF//平面PEC.………………6分(Ⅱ)存在常数22k，使得平面PED⊥平面PAB.…………………………………7分MFEBDCAP高三数学（文科）试题第9页（共12页）∵kABAE，1AB，22k，∴22AE.………………………………8分又∵∠DAB＝45°，∴AB⊥DE.又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB.………………………………10分又∵PDDED，∴AB⊥平面PDE.∵PABAB平面，∴平面PED⊥平面PAB.…………………12分(20)解：(Ⅰ)2b，3=2cea，4,2ab，椭圆C方程为221164xy.…………………………………………………2分（Ⅱ）当切线的斜率k存在时，设切线方程为00()yykxx.………………3分又因为00xky，故切线方程为0000()xyyxxy，200xxyyr.……5分当k不存在时，切点坐标为,0r，切线方程为xr，符合200xxyyr.综上，切线方程为200xxyyr.………………………………………………6分（Ⅲ）设点P坐标为(,)ppxy，,PAPB是圆221xy的切线，切点1122(,),(,)AxyBxy，过点A的圆的切线为111xxyy，过点B的圆的切线为221xxyy.两切线都过P点，112211ppppxxyyxxyy，.……………………8分切点弦AB的方程为1ppxxyy，由题知0PPxy，1(0)pMy，，1(,0)pNx，22222221111=164ppppppxyMNxyxy2222222211111119=+++21641641646416ppppppppxyxyyxyx，当且仅当2163Px，283Py时取等号，34MN，MN的最小值为34.…………………12分高三数学（文科）试题第10页（共12页）(21)解：（Ⅰ）设切点P为00(,)xy，则P处的切线方程为23200000(32)()yxxxxxx.该直线经过点(1,0)，所以有232000000(32)(1)xxxxx，化简得3200020xxx，解得00x或01x，所以切线方程为0y和1yx.………