辽宁省沈阳市2018届高三教学质量监测(一)数学理试题

2018年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i是虚数单位，则复数231ii的实部与虚部之积为（）A．54B．54C．54iD．54i2.设集合{|1}Axx，{|21}xBx，则（）A．{|0}ABxxB．ABRC．{|0}ABxxD．AB3.命题“若0xy，则0x”的逆否命题是（）A．若0xy，则0xB．若0xy，则0xC．若0xy，则0yD．若0x，则0xy4.已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x的值为（）A．-3B．-3或9C.3或-9D．-9或-35.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）A．334B．332C.12D．146.如图所示，络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．43B．83C.163D．3237.设xy、满足约束条件2330233030xyxyy，则12zxy的最大值是（）A．-15B．-9C.1D．98.若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（）种不同的站法.A．4B．8C.12D．249.函数22sin2sincos3cosyxxxx在(0,)2x的单调递增区间是（）A．(0,)4B．(,)42C.(0,)8D．(,)8410.已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线与圆22(4)4xy相切，则该双曲线的离心率为（）A．2B．233C.3D．3211.在各项都为正数的等比数列{}na中，若12a，且1564aa，则数列1{}(1)(1)nnnaaa的前n项和是（）A．11121nB．1121nC.1121nD．1121n12.设函数()fx是定义在R上的偶函数，且(2)(2)fxfx，当[2,0]x时，2()()12xfx，若在区间(2,6)内关于x的方程()log(2)0afxx（0a且1a）有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是（）A．1(,1)4B．(1,4)C.(1,8)D．(8,)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.13.已知随机变量2(1,)N，若(3)0.2P，则(1)P．14.在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得222sin1sin2sin89．15.已知正三角形AOB（O为坐标原点）的顶点AB、在抛物线23yx上，则AOB的边长是．16.已知ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，P为平面ABC内一点，则PAPBPC（）的最小值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC中，已知内角,,ABC对边分别是,,abc，且2cos2cBab.（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若6ab，ABC的面积为23，求c.18.如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PAPD，90APD.（Ⅰ）证明：平面PAB平面PCD；（Ⅱ）求二面角APBC的余弦值.19.高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占25、朋友聚集的地方占15、个人空间占25.美国高中生答题情况是：家占15、朋友聚集的地方占35、个人空间占15.为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别有关，构建了如下22列联表.在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计（Ⅰ）请将22列联表补充完整；试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；（Ⅱ）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人.若所选2名学生中的“恋家”人数为X，求随机变量X的分布列及期望.附：22()()()()()nadbckabcdacbd，其中nabcd.20()Pkk0.0500.0250.0100.0010k3.8415.0246.63510.82820.设O为坐标原点，动点M在椭圆22194xy上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM.（Ⅰ）求点P的轨迹方程E；（Ⅱ）过(1,0)F的直线1l与点P的轨迹交于AB、两点，过(1,0)F作与1l垂直的直线2l与点P的轨迹交于CD、两点，求证：11||||ABCD为定值.21.已知2()2xfxeaxx，aR.（Ⅰ）求函数()fx图象恒过的定点坐标；（Ⅱ）若'()1fxax恒成立，求a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，证明：()fx存在唯一的极小值点0x，且012()4fx.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：极坐标与参数方程设过原点O的直线与圆22(4)16xy的一个交点为P，M点为线段OP的中点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求点M的轨迹C的极坐标方程；（Ⅱ）设点A的极坐标为(3,)3，点B在曲线C上，求OAB面积的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知0a，0b，函数()||||fxxaxb.（Ⅰ）当1a，1b时，解关于x的不等式()1fx；（Ⅱ）若函数()fx的最大值为2，求证：112ab.试卷答案一、选择题1-5:BCDBB6-10:ACBCB11、12：AD二、填空题13.0.814.44.515.6316.-1三、解答题17.解：（Ⅰ）由正弦定理得2sincos2sinsinCBAB又sinsin()ABC∴2sincos2sin()sinCBBCB∴2sincos2sincos2cossinsinCBBCBCB∴2sincossin0BCB∴1cos2C又(0,)C∴23C（Ⅱ）由面积公式可得1sin232ABCSabC∴8ab2222coscababC222()28aabbabab∴27c法2：可解出24ab或42ab代入2222cos28cababC，∴27c.18.（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为正方形，∴CDAD.又∵平面PAD平面ABCD，∴CD平面PAD.又∵AP平面PAD，∴CDAP.∵PDAP，CDPDD，∴AP平面PCD.∵AP平面PAB，∴平面PAB平面PCD.（Ⅱ）取AD的中点为O，BC的中点为Q，连接,POOQ易得PO底面ABCD，OQAD以O为原点，以,,OAOQOP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方形的边长为2，可得(1,0,0)A，(1,2,0)B，(1,2,0)C，(0,0,1)P设平面APB的一个法向量为1111(,,)nxyz而(1,0,1)PA，(1,2,1)PB2200nPAnPB即11111020xzxyz取11x得1(1,0,1)n设平面BCP的一个法向量为2222(,,)nxyz而(1,2,1)PB，(1,2,1)PC则2200nPBnPC即2222222020xyzxyz取21y得2(0,1,2)n121212cos,||||nnnnnn10011221052510由图知所求二面角为钝角故二面角APBC的余弦值为105.法2：若以D为原点，建立空间直角坐标，如图，不妨设正方形的边长为2可得面PAB的法向量1(1,0,1)n面PBC的法向量2(0,1,2)n121212cos,||||nnnnnn210525由图可得APBC为钝角∴余弦值为105.19.（Ⅰ）在家其他合计中国223355美国93645合计3169100∴22100(2236933)31695545K1001134.6283.8413123∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关.（Ⅱ）依题意得，5个人中2人来自于“在家中”是幸福，3人来自于“在其他场所”是幸福，X的可能取值为0，1，20223253(0)10CCPXC，1123253(1)5CCPXC，2023251(2)10CCPXC∴X的分布列为X013P31035110∴3314()012105105EX.20.解：（Ⅰ）设(,)Pxy，易知(,0)Nx，(0,)NPy，又因为1(0,)22yNMNP，所以1(,)2Mxy，又因为M在椭圆上，所以22()1922xy，即22198xy.（Ⅱ）当1l与x轴重合时，||6AB，16||3CD，∴1117||||48ABCD.当1l与x轴垂直时，16||3AB，||6CD，∴1117||||48ABCD.当1l与x轴不垂直也不重合时，可设1l的方程为(1)(0)ykxk此时设11(,)Axy，22(,)Bxy，33(,)Cxy，44(,)Dxy把直线1l与曲线E联立22(1)198ykxxy，得2222(89)189720kxkxk，可得1212221220188997289kxxkkxxk∴2221212248(1)||1()489kABkxxxxk，把直线2l与曲线E联立221(1)198yxkxy，同理可得22121222148(1)||1()498kCDxxxxkk.∴222211899817||||48(1)48(1)48kkABCDkk.21.（Ⅰ）因为要使参数a对函数值不发生影响，所以必须保证0x，此时02(0)0201fea，所以函数的图象恒过点(0,1).（Ⅱ）依题意得：221xeaxax恒成立，∴1xeax恒成立.构造函数()1xgxeax，则()=1xgxeax恒过(0,0)，'()xgxea，①若0a时，'()0gx，∴()gx在R上递增，∴1xeax不能恒成立.②若0a时，'()0gx，∴lnxa.∵(,ln)xa时，'()0gx，函数()1xgxeax单调递减；(ln,)xa时，'()0gx，函数()1xgxeax单调递增，∴()gx在lnxa时为极小值点，(ln)ln1gaaaa，∴要使221xeaxax恒成立，只需ln10aaa.设()ln1haaaa，则函数()ha恒过(1,0)，'()1ln1lnhaaa，(0,1)a，'()0ha，函数()ha单调递增；(1,)a，'()0ha，函数()ha单调递减，∴()ha在1a取得极大值0，∴要使函数()0ha成立，只有在1a时成立.（Ⅲ）'()22xfxex，设()22xm