2019年广东省高考数学一模试卷(理科)

第1页（共26页）2019年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，3）C．（0，8）D．（0，3）2．（5分）复数z＝﹣i（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（±，0）B．（0，）C．（±5，0）D．（0，±5）4．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2+a8＝34，S4＝38，则a1＝（）A．4B．5C．6D．75．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S值及其统计意义分别是（）第2页（共26页）A．S＝4，即5个数据的方差为4B．S＝4，即5个数据的标准差为4C．S＝20，即5个数据的方差为20D．S＝20，即5个数据的标准差为208．（5分）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16﹣12﹣3＝，则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣39．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an+an+1＝2n（n∈N*），则S13＝（）A．B．C．D．10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y＝m（m＞0）第3页（共26页）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝，则ω+m＝（）A．B．2C．3D．12．（5分）已知函数若f（x）＝（kx+）ex﹣3x，若f（x）＜0的解集中恰有两个正整数，则k的取值范围为（）A．（，]B．[，）C．（，]D．[，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）（2x+y）6的展开式中，x2y4的系数为．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝．若点D，E分别在棱PB，PC上运动（都不含端点），则AD+DE+EA的最小值为．16．（5分）已知F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，曲线C1是以F为圆心，为半径的圆，直线2x﹣6y+3p＝0与曲线C，C1从左至右依次相交于P，Q，R，S，则＝三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosA+csinA＝b+a．（1）求C；（2）若D在边BC上，且BD＝3DC，cosB＝，S△ABC＝10，求AD．18．（12分）已知五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，AB∥CD，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC＝2，且二面角F﹣AB﹣C的大小为30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；第4页（共26页）（2）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．19．（12分）已知点（1，），（）都在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同两点P，Q（异于顶点），记椭圆与y轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y＝4上．20．（12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费，某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试的通过情况进行了统计，得到如表：考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以如表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元，求X的分布列与数学期望．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣a）ex（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；第5页（共26页）（2）当a＝2时，F（x）＝f（x）﹣x+lnx，记函数y＝F（x）在（，1）上的最大值为m，证明：﹣4＜m＜﹣3．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线∁l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A，B两点，若＝3，求k的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）﹣5＜0的解集为（m，n），且n﹣m＝，求a的值．第6页（共26页）2019年广东省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，3）C．（0，8）D．（0，3）【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【分析】分别求出集合A，B，由此能求出集合A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣1＜2}＝{x|x＜3}，B＝{y|y＝2x，x∈A}＝[y|0＜y＜8}，∴A∩B＝{x|0＜x＜3}＝（0，3）．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）复数z＝﹣i（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【分析】化简复数z为a+bi的形式，即可写出z的虚部．【解答】解：复数z＝﹣i＝﹣i＝﹣i＝﹣﹣i，则z的虚部为﹣．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算与化简问题，是基础题．3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（±，0）B．（0，）C．（±5，0）D．（0，±5）【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【分析】直接利用双曲线的方程求解a，b，c得到焦点坐标即可．第7页（共26页）【解答】解：双曲线9x2﹣16y2＝1的标准方程为：，可得a＝，b＝，c＝＝，所以双曲线的焦点坐标为（±，0）．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2+a8＝34，S4＝38，则a1＝（）A．4B．5C．6D．7【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2+a8＝34，S4＝38，∴2a1+8d＝34，4a1+6d＝38，联立解得：a1＝5，d＝3，故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有【分析】根据条件可得出f（﹣1）＝﹣1，根据f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，即可由f（x）＜﹣1得出f（x）＜f（﹣1），从而得到x＞﹣1，即得出原不等式的解集．【解答】解：∵x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4；∴f（﹣1）＝﹣1；∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜﹣1得，f（x）＜f（﹣1）；∴x＞﹣1；∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1，+∞）．故选：D．第8页（共26页）【点评】考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【分析】几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：＝3π，故选：A．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S值及其统计意义分别是（）第9页（共26页）A．S＝4，即5个数据的方差为4B．S＝4，即5个数据的标准差为4C．S＝20，即5个数据的方差为20D．S＝20，即5个数据的标准差为20【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有【分析】根据程序框图，输出的S是x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．【解答】解：根据程序框图，输出的S是x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23这5个数据的方差，∵＝（17+19+20+21+23）＝20，∴由方差的公式S＝[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．故选：A．【点评】本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．8．（5分）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16﹣12﹣3＝，则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣3【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有【分析】本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那项即为答案．第10页（共26页）【解答】解：由题意，可知：对于A：＝＝，整理上式，可得：16﹣12﹣3＝，这与题干中条件相符合，故选：A．【点评】本题主要考查向量加减、数乘的运