匹配滤波器的输出信号

数字信号的最佳接收一、引言二、数字信号接收的统计表达式三、最佳接收的准则二、匹配滤波器三、用匹配滤波器构成的最佳接收机四、最佳接收机与实际接收机误码性能比较1引言通信系统中信道特性不理想及信道噪声的存在，直接影响接收系统的性能，而一个通信系统的质量优劣在很大程度上取决于接收系统的性能。研究从噪声中如何最好地提取有用信号，且在某个准则下构成最佳接收机，使接收性能达到最佳，这就是最佳接收理论。研究对象接收问题研究的问题最佳接收或信号接收最佳化的问题从数字信号接收统计模型出发，依据某种最佳接收准则，推导出相应的最佳接收机结构，然后再分析其性能。前面分析的问题是给出接收机模型然后分析其性能现在讨论的问题是2数字信号接收的统计表述带噪声的数字信号的接收，实质上是一个统计接收问题，也可以说数字信号接收过程是一个统计判决过程。从统计学的观点来看，数字信号接收可以用一个统计模型来表述.xysn判决规则消息空间信号空间观察空间判决空间噪声空间数字信号接收的统计模型消息空间、信号空间、噪声空间、观察空间及判决空间分别代表消息、信号、噪声、接收波形及判决的所有可能状态的集合在数字通信系统中，消息是离散的状态，设消息的状态集合为X={x1,x2,…,xm}若消息集合中每一状态的发送是统计独立的，第i个状态xi的出现概率为P(xi)，则消息X的一维概率分布为X1x2…xmP(x1)P(x2)…P(xm)根据概率的性质有1()1miipx若消息各状态x1,x2,…,xm出现的概率相等，则有121()()()mPxPxPxm消息是各种物理量，本身不能直接在数字通信系统中进行传输需要将消息变换为相应的电信号s(t)，用参数S来表示。因此将消息变换为信号可以有各种不同的变换关系，通常最直接的方法是建立消息与信号之间一一对应的关系，即消息xi与信号si(i=1,2，…，m)相对应。这样，信号集合S也由m个状态所组成即S={s1,s2,…,sm}并且信号集合各状态出现概率与消息集合各状态出现概率相等，即1122()()()()PsPxPsPx==()()mmPsPx=...同时也有niisp11)(若消息各状态出现的概率相等，则有12()()()mPsPsPs===P(si)是描述信号发送概率的参数通常称为先验概率，它是信号统计检测的第一数据信道特性是加性高斯噪声信道，噪声空间n是加性高斯噪声。在前面各章分析系统抗噪声性能时，用噪声的一维概率密度函数来描述噪声的统计特性,在本章最佳接收中，为了更全面地描述噪声的统计特性，采用噪声的多维联合概率密度函数。噪声n的k维联合概率密度函数为12()(,,,)kkfnfnnn=n1,n2,…,nk为噪声n在各时刻的可能取值若噪声是高斯白噪声，则它在任意两个时刻上得到的样值都是互不相关的，同时也是统计独立的；注意若噪声是带限高斯型的，按抽样定理对其抽样，则它在抽样时刻上的样值也是互不相关的，同时也是统计独立的根据随机信号分析，若随机信号各样值是统计独立的，则其k维联合概率密度函数等于其k个一维概率密度函数的乘积，即1212(,,,)()()()kkkfnnnfnfnfn=f(ni)是噪声n在ti时刻的取值ni的一维概率密度函数kiinknknnf12221exp)2(1)(222)(exp21)(nnxnf若ni的均值为零，方差为σ2n，则其一维概率密度函数为噪声n的k维联合概率密度函数为2n是噪声的方差，即功率信号通过信道叠加噪声后到达观察空间，观察空间的观察波形为()()()ytntst=+由于n(t)是均值为零，方差为σ2n的高斯过程，则当出现信号si(t)时,y(t)的概率密度函数fsi(y)可表示为20011()exp(1,2,...,)[()()](2)Tsiiknfyimytstdtnfsi(y)称为似然函数，它是信号统计检测的第二数据根据y(t)的统计特性，按照某种准则，即可对y(t)作出判决，判决空间中可能出现的状态r1,r2,…,rm与信号空间中的各状态s1,s2,…,sm相对应。3关于最佳接收的准则在数字通信系统中，最直观且最合理的准则是“最小差错概率”准则在通信中，由于噪声和畸变的作用，使接收发生错误，我们总期望错误接收的概率越小越好原因由于在传输过程中，信号会受到畸变和噪声的干扰，发送信号si(t)时不一定能判为ri出现，而是判决空间的所有状态都可能出现。以二进制数字通信系统为例分析其原理问题二进制数字通信系统，在噪声背景下按何种方法接收信号才能获得最小错误概率？思路先找出每一次判决总的平均错误概率0201)()()()(21ysysedyyfsPdyyfsPP然后用求极值的方法，使满足eP00yPe找到最佳划分点，可得似然比准则为212112)()()()()()()()(2121判为判为sPsPyfyfsPsPyfyfssss当时，得到的最大似然准则为)()(21sPsP21)()()()(2121判为判为yfyfyfyfssss对于多进制情形，假定先验等概，最大似然准则可表示为)21()()(jimjiyfyfissji；，，，，判为数字信号最佳接收的概念：能使误码率最小的接收方式称为最佳接收，相应的接收机称为最佳接收机。理论和实践都已证明：在白噪声干扰下，如果线性滤波器的输出端在某一时刻上使信号的瞬时功率与白噪声平均功率之比值达到最大，就可以使判决电路出现错误判决的概率最小。这样的线性滤波器称为匹配滤波器。所以匹配滤波器是最大输出信噪声比意义下的最佳线性滤波器。用匹配滤波器构成的接收机是满足最大输出信噪比准则的最佳接收机，也称为匹配滤波器接收机。4匹配滤波器匹配滤波器是指在白噪声为背景的条件下，输出信噪比最大的最佳线性滤波器。（一）匹配滤波器的传输特性匹配滤波器)(fH)(tx)(ty图9.2.1匹配滤波器示意图设匹配滤波器的输入信号：)()()(tntstx根据线性叠加原理，匹配滤波器的输出信号：)()()(tntstyoo)()()(fHfSfSo求付氏反变换可得到输出信号dfefHfStsftjo2)()()(输出噪声的功率谱密度为202)(2)()()(fHnfHfPfPnnot0时刻的输出信号值为dfefHfStsftjo020)()()(t0时刻输出信号的瞬时功率为：22200)()()(dfefHfStsftjo输出噪声的平均功率为：dffHndffHndffPNono2020)(2)(2)(在时刻t0上匹配滤波器输出信号瞬时功率与噪声平均功率的比值为：dffHndfefHfSNtsrftjoo2022200)(2)()()(0为上式的最大值，需要使用许瓦兹不等式：dffBdffAdffBfA222)()()()()(fA)(fB)()(fkBfA只有当和成正比时，即中等号成立，时，上式2)()(dffBfA达到最大，为dffBdffAdffBfA222)()()()()()(fHfA02)()(ftjefSfB02020222202202)(2)(2)()()(2)()(00nEdffSndffHndfefSdffHdffHndfefHfSrftjftj0max2nEro根据许瓦兹不等式等号成立的条件可知，瞬时信噪比达最大值的条件是02)()(ftjefkSfH（二）匹配滤波器的冲激响应)(fH)(th根据传输特性与冲激响应是一对付氏变换，匹配滤波器的冲激响应为：dfefkSdfeefkSdfefHthttfjftjftjftj)(222200)()()()(因此)()()(0)(20ttksdfefkSthttfj1t2tt（a))(ts1t2tt（b))(tst（c))(0tts20ttt20tt（d)t20tt)(0tts)(0tts（e)图9.2.2匹配滤波器的冲激响应)()]([)()]([)()()()()()(000ttkRdttsskdttsskdthsthtstsso（三）匹配滤波器的输出波形)(tso匹配滤波器的输出等于输入信号与冲激响应的卷积：根据自相关函数是偶函数的特性：)()(0ttkRtsso从这个意义上来说，匹配滤波器可以看成一个计算输入信号自相关函数的相关器。kEdskkRtsso)()0()(20)(tso0tt匹配滤波器的输出信号在时达到最大值：0t输入信号进行处理，从而在时刻形成输出信号的峰值。0t这个结果再次说明，在时刻之前，匹配滤波器对例1已知信号)(ts匹配滤波器的传输函数和匹配滤波器的输出信号波形。如下图(a)所示，求与之匹配的)(ts0t01)(th0t0k)(tRs0t00k0)(tso0t00k02(a)(b)(c)(d))()(0ttksth解:0to式中取信号的结束时刻值，所以00)()(00tktksth其它)(fH)(th匹配滤波器的传输函数是冲激响应付氏变换，所以：0)()]([)(00fjaefSkthFfH0000)()()()(002002fjaftjfjaftjefSkeefSkefkSfH)()()(00tkRttkRtssso00000)(0)()(ttkttktRs输出信号：)(ts的自相关函数为所以000002)2(0)()(ttktkttkRtsso匹配滤波器输出波形的波形图如图(d)所示。（四）匹配滤波器小结1．匹配滤波器的传输函数02)()(ftjefkSfH因此信号不同，对应的匹配滤波器也不同。也就是说，对某个信号匹配的滤波器，对其它信号就不是匹配滤波器了。2．匹配滤波器传输函数与信号频谱有关，而信号频谱的幅频特性通常不为常数，也就是说匹配滤波器的幅度特性通常是不理想的，所以信号通过匹配滤波器会产生严重的波形失真。3．匹配滤波器只能用于接收数字信号。对数字信号的传输而言，我们关心的是取样判决是否正确，不大关心波形是否失真，而匹配滤波器输出能获取最大信噪比，它有利于取样判决，减小误码率，所以匹配滤波器适合于接收数字信号。因为匹配滤波器会使传输波形产生严重的失真，所以它不能用于模拟信号的接收。0max2nEro说明最大输出信噪比仅与信号的能量及白噪声的功率谱密度有关，与信号的波形无关。但相同能量不同波形的信号，其匹配滤波器的传输函数是不同的。4．匹配滤波器输出端的最大瞬时信噪比表9-2-1匹配滤波器有关公式)(fH)(th)(tso)(0tsomaxor02)(ftjefkS)(0ttks)(0ttkRskE02nE（一）最佳接收机结构二元数字信号的最佳接收机框图的匹配滤波器)(1ts)()(11tTsths)0(sTtsTt的匹配滤波器)(2ts)()(22tTsths)0(sTtsTt判决)(tx接收信号输出5用匹配滤波器构成的最佳接收机)()(11ssoTtkRts)(1ts当接收信号为时，上支路匹配滤波器的输出为sT时对输出进行取样，取样值达最大：dttskkRTTkRTssTssssso0211)()0()()(11当接收信号为)(2ts时，下支路匹配滤波器的输出为)()(22ssoTtkRtssT时对输出进行取样，取样值达最大，为dttskkRTTkRTssT