凸函数的性质及其应用研究

中文摘要第I页共III页凸函数的性质及其应用研究摘要凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen[1905]著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制学等学科的理论基础和有力工具。凸函数的许多重要性质在数学的许多领域中都有着广泛的应用，但是它的局限性也很明显，所以研究凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。考虑到凸函数的连续性，可导性及凸函数在不等式证明方面的应用和意义，本文结合现有文献给出了凸函数12种定义，总结了凸函数常用的性质;由于凸函数的定义是由不等式给出的，基于此，凸函数广泛应用于对某些特殊不等式的证明，本文探讨了它在证明Jensen不等式、一般不等式、Cauchy不等式、Holder不等式中的重要应用，并讨论了Jensen不等式，Cauchy不等式，Holder不等式在证明其他不等式的应用。关键词：凸函数，定义，性质，应用，不等式英文摘要第II页共III页PropertiesandApplicationsofConvexFunctionAbstractConvexfunctionisakindofimportantfunction.TheconceptoftheearliestcanbefoundinJensen’s[1905]writing.Convexfunctionhasappliedinpuremathematicsandmanyappliedmathematicsextensivefields.Nowitbecomethefoundationandpowerfultooltostudymathematicalprogramming,theoryofstrategy,mathematicaleconomics,calculusofvariationsandsuchdisciplinesastheoptimalcontroltheory.Manyimportantpropertiesofconvexfunctionhavebeenwidelyusedinmanyfieldsofmathematicsapplication,butitslimitationsarealsoobviously.Sothestudyofsomedefinitionsandpropertiesofconvexfunctionisnecessary.Consideringtheapplicationandsignificancetoproveinequalityandthecontinuityandconductivityofconvexfunction,thispaperpresents13kinddefinitionsandsummarizesthepropertiesofconvexfunctionwhicharecommonlyused.Convexfunctionarewidelyusedinsomespecialinequalityproof,becauseofconvexfunctionisdefinedbytheinequality.ThispaperdiscussestheimportantapplicationsofconvexfunctioninprovingJenseninequality,generalinequality,Cauchyinequality,HolderInequality.TheimportantapplicationsofCauchyinequality,HolderinequalityandJenseninequalitytoproveotherinequalitiesarealsodiscussed.KeyWords:Convexfunction,definition,properties,applications,inequality**大学毕业论文第III页共III页目录中文摘要...........................................................................................I英文摘要.........................................................................................Ⅱ1引言.........................................................................................................................12凸函数的定义.........................................................................................................12.1凸函数的12种定义...............................................................................................13凸函数的性质.......................................................................................................43.1凸函数的常用性质.................................................................................................44凸函数的应用.......................................................................................................114.1凸函数在微分学中的应用...................................................................................114.2凸函数在积分学中的应用...................................................................................134.3利用凸函数和Jensen不等式证明不等式..........................................................154.4利用凸函数证明Cauchy不等式........................................................................174.5利用凸函数证明Holder不等式..........................................................................184.6利用凸函数证明一般不等式...............................................................................19参考文献.....................................................................................................................24致谢.............................................................................................................................25**大学毕业论文11引言凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen[1905]著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用。尤其是凸函数的许多重要性质在数学的许多领域如：数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域中都有着广泛的应用，凸函数的性质在证明不等式、产品的外形设计，优化产品设计等方面都起着非常重要的作用，但是凸函数也有一定的局限性，所以研究凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。目前凸函数还在不断研究中，它的性质及应用在不断完善。现行的高等数学教材中,也都对函数的凸性作了介绍,由于各版本根据自己的需要,对凸函数这一概念作了不同形式的定义,本文结合现有的文献研究给出凸函数现有的几种定义及其有关性质的证明,并给出简单的应用，主要是应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式并讨论凸函数在证明一般不等式中的应用。2凸函数的定义2.1.凸函数的12种定义定义1若函数()fx定义在ba,上，对ba,上任意的两点12,xx，有121222fxfxxxf那么称()fx是ba,上的凸(下凸)函数[1]。定义2若x（）是定义在I内的单调增加函数，那么存在0xI，对任意,xI有xxdttxfxf0)()()(0，则称()fx为I内的凸函数[2]。定义3若函数()fx在区间I上有定义，对于I上任意三点123xxx，下列不等式中任何两个不等式成立，213132213132()()()()()()fxfxfxfxfxfxxxxxxx，**大学毕业论文2则称)(xf是区间I上的凸函数。定义4利用二阶导数判断曲线的凸向来定义函数的凸性：设函数()fx在区间(,)ab内存在二阶导数,则在(,)ab内有()0()fxfx在(,)ab内严格凸数。证法一(Taylor公式法)对),,(,21baxx设2210xxx,把()fx在点0x处展开成具有Lagrange型余项的Taylor公式，有211001010()()()()()()2ffxfxfxxxxx，222002020()()()()()()2ffxfxfxxxxx，其中1在0x与1x之间，2在0x与2x之间，注意到)(0201xxxx,就有221201102201()()2()()()()()2fxfxfxfxxfxx于是,若有()0fx，在上式中有22110220120()()()()0,()()2()fxxfxxfxfxfx那么,即()fx是严格凸函数。证法二(利用Lagrange中值定理)若()0,fx则有()fx严格单调增。不妨设12xx,并设1202xxx分别在区间10[,]xx和02[,]xx上应用Lagrange中值定理,有11001101(,),()()()();xxfxfxfxx存在使得20220220(,),()()()().xxfxfxfxx存在使得由1102212()()xxxff，又由01200xxxx，那么101220()()()()fxxfxx0120()()()()fxfxfxfx，即:**大学毕业论文312120()()2()22xxfxfxfxf，则()fx为严格凸函数。定义5若对任意的1212,,()[(1)]xxIfxx函数在区间[0,1]为凸函数，则称()fx在区间I内为凸函数[2]。定义6()fx在区间I上有定义，当且仅当()yfx的切线恒保持在曲线以下，则称()fx为区间I上的凸函数[1]。定义7设函数()fx在区间(,)ab内有定义，若对任意123123,,(,),xxxabxxx