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华南农业大学期末考试试卷（A卷）2009学年第一学期考试科目：常微分方程考试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四五总分得分评阅人一、单项选择题（3×5=15分，请将正确答案填到下面的表格中）题号12345答案1.下列微分方程为二阶线性方程的是（）222.1dydyAdxdx⎛⎞−+=⎜⎟⎝⎠20xy22.3dydyBxydxdx⎛⎞0+−=⎜⎟⎝⎠22.dydyCxxdxdx++=siny22.53sdydyinDxxydxdx−+=x2.微分方程有三个特解()()()ypxyqxyfx′′′++=2123,,xxyeyxeyxe===x，则微分方程的通解为=（）y12.()xxAccxxee++12.()xxBccxxee+−1212.()(1)xxCccxxecce++−−1212.()(1)xxDccxxecce+−−−3.以下各函数组在它们相应定义区间内是线性相关的有（）.sin2cossinAttttxt2.cos21cosBt2.1Cx2.ttDetete4.线性方程组23dxydtdyxydt⎧=⎪⎪⎨⎪=−−⎪⎩的奇点是（）.A稳定结点.B不稳定结点稳定焦点.C.D不稳定焦点第1页，共6页5.微分方程(,)(,)0MxydxNxydy+=存在只与x有关的积分因子的充要条件为（）.MNyx()AyNψ∂∂−∂∂=.(MNyxByNψ)∂∂−∂∂=−.MNyxCMψ∂∂−∂∂=()x.(MNyx)DxNψ∂∂−∂∂=二、填空题（3×5=15分）6.已知某曲线上任一点平分过该点的法线夹在两坐标轴之间的线段，则该曲线方程为。7.方程13dyxydxxy−+=+−通过变换可化为齐次方程。8.如果()tϕ是方程组xAx′=满足初始条件0()tϕη=的解，那么()tϕ=。9.对于二阶线性齐次方程（其中为连续函数），若有()()0xptxqtx′′′++=(),()ptqt成立，则xt=是方程的解。10.二阶Euler方程22235dydyxxydxdx++=0通过变换可化为二阶常系数齐次线性微分方程。三、计算题（50分）11.求下列方程的通解：（6×4=24分）（1）0)46()63(3222=+++dyyyxdxxyx（2）21⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=dxdydxdyx第2页，共6页（3）0)(12=′−+′′xx（4）ttexxxtcos22=+′−′′12.试求方程组Axx=′的一个基解矩阵，并计算，其中)exp(tA1243A⎛⎞=⎜⎟⎝⎠.（8分）第3页，共6页13.设为连续函数，且满足，求.（9分）)(xfdttftxexfxx)()()(0∫−−=)(xf14.设1,11:),(≤≤+∈yxDyx，求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=−−=0)1(22yyxdxdy的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。（9分）第4页，共6页四、证明题（6×2=12分）15.设是阶线性方程组()tΦnAxx=dtd（A是nn×的常数矩阵）的标准基本解矩阵（即），证明，其中为某一值。(0)EΦ=100()()()tttt−ΦΦ=Φ−0t16.证明：如果在区间上是某一个线性齐次方程组的基解矩阵，那么此方程组必为)(tΦbta≤≤xΦΦx)()(1ttdtd−′=。并求作一个线性齐次微分方程组，使它的基解矩阵为。⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ttteteet0)(Φ第5页，共6页五、讨论题（8分）17.某自激振动系统以数学形式表示如下（范德波尔方程）)0(0)1(222=+−+μμxdtdxxdtxd试讨论系统的平衡状态（即驻定解）的稳定性态。第6页，共6页