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几何证明专题——角平分线与平行线几何模型的应用一、小试身手1、(2010•深圳)在□ABCD中，AB＝5，AD＝8，DE平分∠ADC，则BE＝______________．2、(2012•咸宁)在梯形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°，BE平分∠ABC且交CD于点E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD=2，BC=12时，四边形BGEF周长为.第1题图第2题图第3题图第4题图3、（2013•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=52，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（）A.43B.32C.53D.24、如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm，图中阴影部分的面积为.5、（2013•玉林）如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断（）A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误二、画龙点睛如图，给出下列语句，分别以其中两个为条件，另一个为结论，你能得到哪些结论？判断你的结论是否成立，说明理由.①OC平分∠AOB；②OA∥QP；③QP=QO.想一想：这种图形能演变出什么图形？QOABCPEBCDA三、典例精析1、（2013•铁岭）△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE.（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由.2、（2012•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．3、(2011•深圳）如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G。(1)求证：AG＝C′G；(2)如图12，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长。四、动手实践1、在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形.其中，正确的有.2、(2008•深圳）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．3、（2013•泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．4、（2013•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE.（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若E是AC的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积.EFBCAD