凸显迁移能力的教学设计个案

凸显迁移能力的教学设计个案——“从问题到方程”教学实录与设计说明南京市宁海中学分校卜以楼教学内容苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级上册“4.1从问题到方程”。1内容分析方程是连接代数式与函数的桥梁，是初中代数中重要的内容之一．其本质是将未知数和已知数享有同等的地位，参与数、式的运算，从而打开已知和未知之间的通道，达到解决问题的目的．用方程解决问题的教学要点，不是它的类型，也不是列表法、图示法等具体的方法分析，而是寻求已知与未知间的数量关系（相等关系）．从这个角度看，就是把实际问题转化为数学问题（方程问题），即将未知数引进等式，再通过解方程解决问题．本节内容，为方程的起点，学生在小学数学学习过程中已经接触过，学生对此内容并不陌生．关键是要让学生清楚为什么要用方程来解决问题？小学算术不可以吗？为什么要换个角度去研究？教学目标1．通过《鸡兔同笼》的解法探究，构建算术方法向方程方法的转化活动，自然衔接中、小学数学知识。2．通过对以“秋游”为主题的系列问题探究，初步会用方程表达数量间的相等关系，使学生初步感受方程是刻画现实世界的有效模型，3．通过对《鸡兔同笼》问题、“秋游”为主题的系列问题、“方程与天平”的问题分析，让学生体验在生活中学数学、用数学的价值，感受学数学的乐趣．教学重点体验方程是刻画现实世界一种有效的数学模型，用方程表达数量间的相等关系．教学难点从实际问题中建立方程模型．2教学实录*原载于《中国数学教育》（初中（中国数学教学专业委员会），2009年第11期。被人大复印资料《初中数学教与学》2010年第3期全文转载。2.1趣题再解2.1.1趣题引入《鸡兔同笼》是我国古代著名趣题之一，大约在1500年前，我国古代一部较为普及的算书《孙子算经》就记载了这个有趣的问题．它还曾经飘扬过海传到日本等国．请看题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？2.1.2探索算术解法问题1请同学们回忆一下，在小学里是怎么解决这个问题的？生1：把兔子的足砍去一半,则有35×2＝70（只）足,那么被砍去的足有94－70＝24（只）,故有24÷2＝12（只）兔子。师：噢，你是运用假设把兔子的足砍去一半的方法来解决的。这个方法很好，大数学家孙子就是用这种方法来解决该问题的，我们就把它称之为“砍足法”。（板书：“砍足”法）生2：我受生1解法的启发，想出如下解法的：假设让兔子全“起立”，那么鸡、兔共有35×2=70（只）足，而实际多了94-70=24（只）足，故有24÷=12（只）兔子．师：生2的想法颇具“拟人”的味道，这是一种创新，而且更具有人性化，很有研究价值。我们可将此方法称为“兔立法”（板书：“兔立”法）。生3：老师，我是这样想的，兔有4只足，鸡有2只足，这样对鸡是否有些不公平？不过我又想，兔子没有翅膀，而鸡有2只翅膀，这样一想，也能算是公平了，和谐了．我们如果把鸡的两只翅膀也算足的话，那么就有35×4=140（只）足，这就说明鸡有140—94=46（只）翅膀，故原来有46÷2＝23（只）鸡。师：生3是假设将鸡2只翅膀也算作足，让鸡与兔和谐共生。因此，我们可将此方法称之为“公平法”（板书：“公平”法）。事实上这种解决问题方法，数学家张景中院士给青少年讲数学时，早就运用了，看来生3具有数学家的潜质噢！2.1.3引入方程解法问题2上述解决问题的方法主要运用的是小学数学知识，请同学考虑一下，这几种方法有什么共同点？生4：我认为上述解决问题的方法虽然不尽相同，但是它们都是在假设的基础上进行的。师：生4的回答很好，从上述的解法中，我们体验到了假设思维的妙趣．虽然有些事情并没有发生，但我们可以在想像中假设它发生了，于是出现了合乎解决问题的情境，从而获得问题的答案．故上述解法，其实质就是“假设法”。问题3我们能否沿着假设法的思路,通过用字母表示未知数的的方法来解决该问题?生5：假设鸡有x只，则兔有(35-x)只．根据鸡兔共有94只足，就有2x+4(35-x)=94.余下的问题就变成求x的纯数学问题了.师：生5同学的思路非常清晰，它将小学阶段学习的“假设法“迁移到我们初中数学中。今天我们就来研究——从问题到方程（板书：从问题到方程）。2.2主题式探究师：秋天是个收获的季节。学校准备组织部分同学去秋游。小明是秋游活动的负责人，你们能帮他解决下列问题吗？请看题。问题4学校组织七年级94名三好学生到玄武湖划船秋游，共用船35条，若每条大船可以坐4人，每条小船可以坐2人，如果小船有x条,那么可得方程。生1：因为“坐大船的总人数+坐小船的总人数=94”，于是有方程2x+4(35-x)=94。师：俗话说，兵马末动，粮草先行。现决定秋游活动自带水果，你能帮小明当好这个后勤部长吗？请看题。问题5用94元钱买苹果和橘子共35斤，已知苹果4元每千克，橘子每斤2元每千克．如果买了x斤橘子，那么可得方程。生2：由于“橘子总价格+苹果的总价格=94”，则有方程2x+4(35-x)=94。师：当秋游回来，学校正举行球赛，有一个有关球赛的问题需要小明解决，你们能帮小明解决吗?问题6某球队参加联赛，胜一场得4分，负一场得2分，该队赛了35场,共得94分．该队负了多少场(用方程表示)？生3：胜的场数×4+负的场数×2=94．解:设该队负x场，那么胜(35-x)场，可得方程：2x+4(35-x)=94.师：看完球赛,回到教室，小华向小明请教了两道习题，你们能帮小华解决吗?问题7已知师傅每小时做4个零件，徒弟每小时做2个零件．现师、徒两人在35小时内完成94个零件的加工任务．那么徒弟做了多长时间(用方程表示)?生4：根据“徒弟做的零件总数+师傅做的零件总数=94”，可以列出方程。解:设徒弟做了t小时，则有2t+4(35-t)=94.2.3变式体验2.3.1变式训练问题8在一次电脑知识竞赛中共有20道题．对于每道题，答对了得5分，答错了或不答的扣3分，邓民同学的得分是84分，则他答对多少道题(用方程表示)?生1：我可以根据“答对的得分－答错或不答的扣分=84”，列出方程。解:设答对x道题，那么答错(20-x)道题，5x-3(20-x)=842.3.2体验平台师：我想同学们也一定愉快地和小明度过了一个美好的秋日，而且还学会了用方程去解决实际问题的方法。下面让我们一起再体验一下用方程去解决问题的快乐。（学生练习课本92页试一试、练一练）2.3.3心灵升华师：现实生活中充满了大量的相等关系，方程的思想无处不在，现在就让我们再去感受一下方程的思想。方程与天平1方程与天平2如图所示天平，可以得到的方程为：如图所示天平，可以得到什么样的方程？x+2=10心灵感悟：方程是解决实际问题中相等数量关系的有效模型.2.4仿真中考师：看来同学们今天对方程的相关知识学得不错，下面通过二道中考题，让同学们了解一下中考对这部分知识的要求，提前感受一下中考。1．(2007年江苏·徐州卷)某通讯运营商的短信收费如下：发送网内信息每条0.1元，发送网际信息每条0.15元。该通讯运营商的小王某月发送以上两种短信共计150条，依照该收费标准共支出短信费用19元。若设小王该月发送网内短信x条，则可得方程______________________________.2。（2008年浙江•台州卷）四川“5·12”大地震后，灾区急需帐篷。某企业急灾区所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共青团员2000顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置9000人，设该项企业捐助甲种帐篷x顶，则可得方程______________________________.2.5合作交流师：请同桌间根据老师提供的情境自己出题、交换答题、相互评价．参考情境：鸡兔同笼类型问题、购物问题、球赛问题……（要求：只列出方程，不要求解答．）2.6反思小结师：通过本节课的学习，同学们对方程的相关知识，又有什么新理解呢？生1：用方程解决问题的方法好像是一种假设法。生2：从“问题到方程”的关键：建立含有未知数的方程.生3：从“问题到方程”的实质：方程是解决实际问题中相等数量关系的有效模型.生4：从“问题到方程”的思想：实际问题方程模型生5：从“问题到方程”的方法：实际问题数学问题确立等量关系设未知数列方程……2.7课后延伸“新鸡兔同笼问题”：已知每公斤五角硬币价值132元，每公斤一元硬币价值165元，现有总重量为两公斤的硬币，总数共计462个，问其中一元与五角的硬币分别有多少枚？3教学设计说明本节课的教学设计紧紧围绕“方法迁移”、“知识迁移”来展开。通过引导学生经历从小学算术（算法）到中学数学（方程）的探索历程，来体现“方法迁移”；通过对同一模型（2x+4(35-x)=94）的不同背景的呈现，来体现“知识迁移”。这样设计主要是让学生经历将实际问题数学化，体验用方程的模型来解决实际问题的过程，让学生初步感受用方程解决实际问题比小学算术方法既简单又深刻，让学生体验方程是解决实际问题的有效杠杆，它具有省时省力之效。3．1关于教学目标的落实首先，教学中通过“砍足法”、“兔立法”、“公平法”等解法迁移，激发了学生对数学的美好情感．一开始就将知识与情感有机地整合到课堂教学之中．其次，通过将不同问题的“解法归一”，让学生深度思考，思维迁移，使学生充分认识“方程是刻画现实生活中相等关系的有效模型”，体验在生活中学数学、用数学的价值．再一次保证“方法与过程”、“情感与价值观”等目标有效的实施．具体的讲，在以“秋游”为主题的系列问题探究中，着重落实“知识与技能”目标，在以《鸡兔同笼》的解法探究中，着重落实了“过程与方法”目标，在对以“方程与天平”的问题分析中，着重落实了“情感态度与价值观”的目标．当然，三维目标的落实是不可分割的一个有机统一体，它贯穿在教学设计的全过程中。3．2关于教学过程的设计教学过程是课堂教学设计的核心．教学任务、教学目标、教学对象的分析，教学媒体的选择，课堂教学结构的选择组合等，都将在教学过程中得到体现．课堂教学要求我们关注学生的主动参与，让学生在观察、分析、讨论、探究中，在情感的体验中，进行有效迁移．在这样的理念下，教学的过程是呈现主题或网状思考状态，教学诸因素不是沿着“教”这条单线前行，而在“学”与“教”的交错中，按照教学目标、教学任务动态前行．本节课的教学过程设计有如下特点。情境导入——遵循从最近发展区出发。每节课的开始，是师生建立情感的第一座桥梁，也是经营整个课堂气氛的一个重要环节．导入环节应当做好两个方面的工作：一是在上课开始，运用新颖的刺激和引人入胜的活动，引导学生把注意力迁移到新的学习课题，引起学生对课题的关注，使学生心理活动集中于要掌握的内容；二是利用学生熟知的素材，把它作为“引子”过度，找到新知识与学生原有知识经验的“切合点”，把新知识“同化”或“顺应”迁移到已形成的知识结构中，从而达到学习新知识的目的。本节课的情境创设，没有使用课本中提供的“天平情境”，而采用古代“鸡兔同笼”作为问题情境，主要基于以下几个方面的考虑：一是从学生最近发展区出发，通过对“鸡兔同笼”的趣题征解活动，来重新激发学生学习数学的兴趣，再次唤起学生的求知欲；二是通过“砍足法”、“兔立法”、“公平法”的解法归一，得到解决问题的本质是一种思想，即假设思想，通过这样的过程，培养学生的迁移能力；三是通过将假设法迁移到用方程方法解决问题，为学生提供非常自然、得体、流畅的思维场景（通过老师的提问：我们能否沿着假设法的思路,通过用字母表示未知数来解决问题呢?），为迁移能力的发展作最有效的铺垫。主题式探究——坚持凸显问题的本质。主题式探究是围绕某一中心问题展开“形散神不散”的探究迁移活动．在主题式探究中，问题是核心，没有问题就没有探究，更没有有效的思维迁移。本节课的主题式探究活动，通过对“鸡兔同笼”问题探究形成的基础，巧妙地选择学生即将进行的“秋游”主题活动（上这节课时正值学校准备组织秋游活动），使学生倍感亲切，增强了学生的探究欲望．具体的探究活动，一是通过对同一模型2x+4(35-x)=94来展开迁移活动，让学生体验“同一个方程模型可表述不同的问题背景”