函数与三角函数专题复习

1函数与三角函数专题复习湘钢一中谷清华2007年是湖南省自主命题的第四年，前三年湖南高考数学试卷充分发挥了数学作为基础学科的作用，既重视考查中学基础知识的掌握程度，又注意考查学生的学习能力。做到了总体保持稳定，深入能力立意，积极改革创新，兼顾了数学基础、思想方法、思维、应用和潜能等多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽题材，选材多样化，宽角度、多视点地考查数学素养，多层次地考查思想能力，形成并呈现出湖南卷的特色。函数是中学数学的核心内容，也是学习高等数学的重要基础。它包括的内容丰富，基础知识点多，几乎涉及到中学数学里所学的数学思想、方法。例如：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论的思想和化归的思想。函数问题的解答中常常用到数学中的典型的基本方法。例如：配方法、待定系数法、数学归纳法、换元法、消元法、反证法、比较法、代入法、基本不等式法等。试题注重函数性质的综合考查，除了常见的一次函数、二次函数、指数、对数函数、三角函数外，还经常会考到函数xbaxy+=和三次函数以及由以上函数复合或运算构成的函数。当今高考更是注重在知识交汇点命题，与函数有关的考题经常与数列、不等式、解析几何的知识综合考查，函数应用题更是考查考生综合运用数学知识、分析和解决问题的能力的重要题型。一、细读考纲，把握方向在复习迎考过程中，认真研究考纲是高三数学教学必须做的重要工作。一方面要求学生认真理解与函数有关的概念（符号语言、数学语言）；另一方面要求熟练掌握基本初等函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、2周期性、函数图像等基础知识，同时要求学生有从以上几方面研究函数问题的自觉意识。导数可以看成是研究函数的有力工具，要掌握相关的基础知识和公式、法则。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与平面向量、解三角形相联系。复习时可作为学生重要得分点加以落实。二、研究考题，探求规律一、关于函数的考查情况请看下面两个统计表。2005年高考函数部分解答题（含导数）卷别题次分值内容全国Ⅰ第六题12函数+导数+归纳法全国Ⅱ第一题12函数+不等式全国Ⅲ第六题12函数+导数+不等式北京第一、六题13/14函数(导数)函数+不等式上海第五题16解析式、直线及探索性天津第四、六题12/14应用、导数+不等式重庆第三题13函数+导数+分类讨论浙江第二题14函数+不等式福建第三题12切线、性质湖北第一题12函数+导数湖南第六题14函数(导数)广东第五题14函数性质、方程根江苏第四题14函数(导数)最值、方程山东第三题12函数(导数)江西第一题12函数+不等式辽宁第六题12函数(导数)+不等式32006年高考函数部分解答题（含导数）另外:小题(选择题与填空题)一般有1～3题,往往涉及到集合,反函数,函数的性质、连续性、极限、切线方程等基本知识。从表中可以看出以下一些信息:1、题量:大部分是一道解答题外加若干个小题,有时候也会出现两道大题,而分值从二十至三十多分不等。2、考查内容:几乎所有函数部分的知识点都考过,2006年湖南卷理科28分,文科22分,与函数有关的题分值是50多分。这也体现了函数在整个知识体系中的主导地位,但重点是以函数为背景,考察导数的工具性和应用。3、关于难度:从表中可以看出,函数解答题的位置从第16到第21题应有尽有,这也就从一个侧面可以看出,题目的难易程度变化之大,这也是其他知识块所没有的,一般来看,仅涉及函数自身内容如定义域、单调性与奇偶性、类别题序分值内容全国卷Ⅰ第五题14导数+最值+不等式全国卷Ⅱ第四题12导数+最值+不等式北京卷第二题13导数+极值+方程天津卷第四题12导数+极值+不等式上海卷第六题18导数+值域（创新，类比）辽宁卷第五题第六题24导数+极值+解析几何导数+数列+二项式定理+不等式证明江苏卷第二题第五题30应用题+导数+最值最值+方程浙江卷第二题第六题28函数+不等式导数+数列福建卷第三题第五题24应用题+导数+最值导数+极值湖北卷第四题14导数+极值+不等式湖南卷第四题第五题28导数+数列+不等式应用题+不等式广东卷第六题函数+不等式4图象、反函数等知识点的以容易题居多,而中高档难度题多为与其他知识点的结合,如导数应用、不等式知识、参变量的讨论、向量、方程及数列等。或思想方法的渗透。需要提出的是湖南卷走的是高档题思路。例（2006年湖南卷理19）已知函数()sinfxxx,数列{na}满足:1101,(),1,2,3,.nnaafan证明:(ⅰ)101nnaa;(ⅱ)3116nnaa.试题特点：本题涵盖了函数、导数、不等式证明、数学归纳法等多个知识点，综合性强，对于学生的思维能力、逻辑推理能力、综合运用知识的能力有较高要求，但运算量不大，体现了高考突出考查思维能力的命题思路。本题难度系数：0.158与本题的第一问得起点高有很大关系。4、特点:函数是高中教学内容的知识主干，是高考考察的重点。函数问题更多是与导数相结合，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数的性质，应用函数的单调性证明不等式，体现出新的综合热点。文科卷中函数与导数的解答题，其解析式只能选择多项式函数；而理科卷则可在指数函数、对数函数以及在三角函数中选取。湖南卷连续三年都是导数的应用,且难度较高。在选择题和填空题中更多地涉及函数图象、反函数、函数的奇偶性、函数的极值、函数的连续性和导数的几何意义等重要内容。命题虽然立足于课本,但对课本的知识点进行了深入拓展,如由特殊的对称到一般对称到非三角函数的周期性,由最值到变量分离而确定参数的范围与恒成立问题,等与不等的转换与相互印证。而另一特点:注意创设新情景,在新的背景下的函数思想的考查受到重视,加大了探索题、开放题、应用题的考查力度，对学生的多种能力，包括阅读理解、表述、信息处理及新背景下的学习能力的考查。5二、关于三角函数的考查情况请看下面两个统计表。2005年高考三角函数部分解答题卷别题次分值内容全国Ⅰ第一题12图象性质+导数全国Ⅱ第三题12三角形+向量+数列天津第一题12三角形内求值重庆第一题13求值浙江第一题14求值福建第一题12求值湖北第二题12解三角形湖南第一题12三角形中变形求角广东第一题12化简、求周期山东第一题12向量+三角江西第二题12三角+向量+导数辽宁第二题12应用6注:有个别试卷没有单独解答题1.从表中可以看出,一般地三角函数在试卷中基本上是一个大题加上一至二个小题,分值在十五至二十分左右,但个别时候没有独立的解答题。2.从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去3.特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发2006年高考三角函数部分解答题类别题序分值内容全国卷Ⅰ第一题12三角形内的三角函数+最值全国卷Ⅱ第二题12理：向量+三角+最值文：解斜三角北京卷第一题12三角化简求值天津卷第一题12理：解斜三角形+求值文：化简求值上海卷第一题12理：函数的性质文：化简求值辽宁卷第一题12三角函数的性质浙江卷第一题14三角函数图象+向量福建卷第一题12三角函数图象+性质湖北卷第一题12三角函数图象+向量平移湖南卷第一题12理：解斜三角形文：化简求值广东卷第一题14化简求值求最值7生了变化。文科:偏重化简求值,三角函数的图象和性质。理科:偏重三角变换,解斜三角形,与向量相结合,考查运算和图形变换也成为了一个趋势。与函数相比,三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。解斜三角形为考查热点。三、关于函数与三角函数近三年湖南高考函数与三角函数统计表近年来的高考数学试题，始终坚持以《考试说明》作为高考命题的依据，从整体来说既有稳定的风格，又有新颖的创意，考查全面、深入改革、强化基础、突出能力。《2007考试说明》数学科考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力与素质的考查融为一体，全面检测考生的数学素养。从研究历届高考数学试题（考试说明具体化）得到的启示，高考试题的主要来自于五个方面：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为年份函数三角导数2004年理19分文17分理13分文15分理19分文16分2005年理13分文18分理14分文16分理19分文14分2006年理12分文21分理21分文16分理11分文12分8新高考题的借鉴，有先例可循。③课本与《课程标准》的交集成为新地带。湖北省2004年第12题，用三角函数模拟港口水深与时间关系，可以看做《课程标准》中“数学4”参考例案的改编，也可认为源于人教版教科书《数学》第一册（下）的阅读教材：潮汐与港口水深。④高等数学的基本思想、基本问题为高考题的命制提供背景。98年向水瓶注水，根据水量与水深的函数关系，判定水瓶的形状，2005年湖南高考填空题第15题是以积分为背景命制的。⑤当新增内容常规化后，竞赛试题将成为一个来源。由此对于高中数学复习提出如下建议：1、切实抓好“三基”，牢固打好数学基础。①回扣课本，浓缩知识，巩固提高回扣课本是高考前的最后一次系统的复习，目的是迅速巩固原有复习效果，特点是速度快、记忆量大，准确度要求高。因此，在复习过程中，一定要要求学生会用自己的简练语言复述、概括课本内容，包括它们之间的一些横向和纵向联系，对于易混淆的问题、典型的例题和自己经验教训要整理出来，以备在需要时能迅速提取。越到最后复习阶段越要从一大堆书本、一大堆笔记中解脱出来，完成由多到少的转变。基本训练要以课本的习题为主要材料,一定要克服”眼高手低”的毛病,在没有扎实抓好基础知识和基本训练之前就去攻难题、搞综合提高,肯定不会有好的效果。在进行解较难题目的训练时,也要不断联系基础知识和基本训练,充分体会基础数学的通性通法在解题目的作用,做到基本知识和基本训练常抓不懈。事实上高考数学试卷中有相当多的试题是课本上基本题目的直接引用或稍作变形而得来的,其目的在于引导师生重视基础,切实抓好基础知识和基本训练。9例：（2006年湖南卷理1）函数2log2yx的定义域是()A.(3,+∞)B.[3,+∞)C.(4,+∞)D.[4,+∞)例：（2006年湖南卷理4）“a=1”是“函数()||fxxa在区间[1,+∞)上为增函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件例：（2006年湖南卷理13）曲线1yx和2yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是.②建立知识结构体系通过对反映相关数学理论的本质属性的许多重要的例题和习题类比、延伸、迁移、拓广,提出新的问题并加以解决,能有效地掌握基础知识,发展数学能力。对基础知识和基本训练的复习,不只是简单重复、加强记忆,重要的是要深化认识,从本质上发现数学知识之间的关系和联系。从而加以分类、整理、综合、构造,形成一个较为完整的知识结构体系。例题:求曲线2342yxx在点(2,6)M处的切线方程_____________。变式一:(全国卷Ⅱ文（12）)过点(1,0)作抛物线21yxx的切线,则其中一条切线为_______________________(A)220xy(B)330xy(C)10xy(D)10xy变式二:过点)1,1(且与3yx相切的直线方程为___________。通过比较可以让学生掌握求曲线切线方程的各种情况，准确体会过与在的差别。③重视数学思想方法的渗透基本数学思想方法是在知识的形成的过程中发展,数学能力是在知识、方10法和技能的学习过程中提高,函数部分用函数与方程思想解决取值范围问题，方程是否有解问题。用数形结合思想解决函数图象的运动变化规律及位置关系问题。用分类与整合解决含参函数的单调性问题。用转化与化归思想解决恒成立问题。2、