函数专题研究(基本函数)

1函数专题研究(一)------基本函数一.知识归纳:1.正反比例函数、一次函数。（略）2．二次函数：(1)形式:①y=ax2+bx+c;②y=a(x-x1)(x-x2);③y=a(x+2ba)2+244acab其中a≠0(2)字母意义:①a表示开口方向和大小;②c表示在y轴上的截距(区别于距离);③b与对称轴在关;(3)二次函数、二次方程与二次不等式间的关系.(4)重要结论:①求根公式;②韦达定理(根与系数的关系,特别注意使用的前提条件);③|x1-x2|=24||acab(5)列表讨论二次不等式解集的情况:Δ0Δ=0Δ0ax2+bx+c0ax2+bx+c≥0ax2+bx+c0ax2+bx+c≤0(6)根的分布情况:(结合图形推导或借助于韦达定理归零处理)总结根的分布与哪些量有关①两根均大于k;②两根均小于k;③两根分别在k的两侧;④两根均在k1k2之间;⑤两根均在k1k2两侧;⑥两根中一个在k1k2之间,一个在k1k2之外.3指对数函数:(1)公式:①logaa=1;loga1=0②loga(MN)=logaM+logaN③logaMN=logaM-logaN④()(...)(...)logab中三个括弧间的关系⑤logab=logcb/logca推广一：logab·logbc=logac;推广二：logab·logcd=logad·logcb⑥logaba=b⑦logcba=logcab⑧logab=1logba⑨pqa=pqa;amn=anm=()mna=()nma⑩a-m=1ma(2)图象和性质：（结合图象把握性质）2第一象限从下至上底数渐大第一象限从左向右底数渐大过定点(0,1)过定点(1,0)对于函数值:同正异负(同异指真数与底数的区间)4.幂函数:（结合图象把握性质）(1)过定点(1,1);(2)其它象限的图象结合函数的奇偶性来确定.5.对勾函数:y=ax+bx当a,b同号时用对勾函数;当a,b异号时用函数的单调性.6.一次分式函数:y=axbcxd(1)y=axbcxd的对称中心为(,)dacc;(2)y=axbcxd中,若a=-d,则原函数和反函数是同一函数;(3)常用做题方法:分离常数法.7.二次分式函数:y=22abxcdexfxx常用做题方法:判别式法分离常数或分子分母同除某变量来转化对勾函数或二次等熟悉函数8.反函数:(1)y=f-1(x)和x=f-1(y)均为y=f(x)的反函数;(2)y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于y=x对称;(3)f[f-1(x)]=x;f-1[f(x)]=x;(4)原函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)在相应区间上有相同的单调性;3(5)若y=f(x)是增函数时,y=f(x)与y=f-1(x)交点在y=x上;若y=f(x)是减函数时,y=f(x)与y=f-1(x)交点不一定全在y=x上.9.复合函数:(1)求定义域时由外往里剥.求值域或函数值时由内向外蜕.(2)单调性:同增异减.(3)奇偶性:有偶就偶;全奇才奇.二.题型讲授:题型一:1.已知f(x)在其定义域内是增函数，且存在反函数，求证y=f(x)的反函数y=f-1(x)在它的定义域内也是增函数。题型二：1.求下列函数过哪个定点：(1)y=3+ax-2(2)y=2loga(2x+3)+1(3)若f(x)过定点(2,0)则f-1(2x+1)过哪个定点;(4)若f(2x+1)过定点(2,0)则f-1(x)过哪个定点;(5)若f(2x+1)过定点(2,0)则f-1(2x+1)过哪个定点.2.若y=mx+a+b恒过定点（1,3）,求a和b的值.3.函数y=loga(x+3)-1,(a0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn0,则12mn的最小值为.题型三：（法一：结合函数的对称中心或式子的对称问题；法二：利用函数周期性；法三：结合数列求和。）求下列各式在各自条件下的值.(1)设f(x)=xxaaa,求f(1101)+f(2101)+……+f(100101);(2)已知f(x)=221xx,求f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(12)+f(13)+f(14);(3)若函数y=f(x)关于点(12,-12)对称,求f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4);题型四:1.已知f(x)是定义在R上的函数,其反函数为f-1(x),若f-1(x+a)与f(x+a)互为反函数,且f(a)=a,(a≠0),则f(2a)=()A-aB0CaD2a2.定义域,值域均为R的单调函数f(x),反函数为f-1(x),且f(x)+f(-x)=2,则4f-1(x-1)+f-1(3-x)=()A2x-4B2C-2D0题型五:（法一：数形结合法；法二：独立主元后转化为函数最值；法三：变更求知数。）1.x∈(1,2)时,(x-1)2logax恒成立,求a的范围,2.对于任意实数m,方程log2(ax2+2x+1)-m=0恒有解,求a的取值范围.3.x|x-a|1在x∈[0,1]恒成立,求实数a的范围.4.x2-1m(1-2x)在m∈[-2,2]上恒成立，求x的范围。三.综合训练:【三基巩固训练】1.平移二次函数y=x2，使其顶点在x+2y-1=0上，且过P(1,3)，求平移后的二次函数的解析式。2.已知y=4x2-mx+5在x≥-2上是增函数，求当x=1时函数值的范围。3.已知y=x2-2x+3在0≤x≤m上有最大值3和最小值2，求m的范围。4.已知y=x2+2mx+m2-12m-32,当x0时y0恒成立，求m的范围。5.已知x+2x2+a2-a≥0恒成立，求a的取值范围。6.如果x2+2mx+2m2-3=0的两根都大于2，求m的范围。7.已知函数y=-x+ax+a-1的反函数的对称中心是(-1,3)，求a的值。8.定义在R上的函数f(x)，g(x)都有反函数，又f(x-1)与g-1(x-2)的图象关于y=x对称，若g(5)=2002，则f(4)值为()A2002B2003C2004D20057当m取何值时，7x2-(m+13)x+m2-m-2=0的一根大于1，另一根小于1。8.已知函数y=x2+2(a-1)x+2，（1）在x≤4上是减函数，求a的范围。（2）若函数的减区间为x≤4，求a。9.关于x的不等式ax2-2ax+30的解可能是（）5A1x3B-12x52Cx1或x3Dx-12或x5210.已知a、b、c是不全为零的三个实数，那么关于x的方程x2+(a+b+c)x+(a2+b2+c2)=0的根的情况是（）A有两个负根B有两个正根C有两个异号的实根D无实根11.已知二次函数y=ax2+bx+c，在x=-1时有最小值-4，其图象与x轴交点的横坐标为x1和x2，且x12+x22=10，求函数的解析式。12.已知方程2x2+k2x+6k=0有一根小于-2，另一根大于0，则求k的取值范围。13.已知函数y=x2+ax+1在x2时存在反函数，求a的取值范围。14.已知函数f(x)=x-52x+m的图象关于直线y=x对称，则m=。15.函数y=12||logxa的图像不过第二象限,求a的范围.16.若函数y=ax+b-1(a0,a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有()A0a1,b0Ba1,b0C0a1,b0D1a0,b017.函数f(x)=4mxxm在x≥3上是增函数,求m的范围.【综合能力提高】1.当0≤x≤2时，y=ax2+4(a+1)x-3在x=2处取得最大值，求a的范围。2.当y=x2-2ax+2在x≥-1时，y≥a恒成立，求a的范围。3.已知y=x2+x+a，(a0),若x=m时，函数y0，则x=m+1时y=()A正数B负数C零D与m有关4.函数y=-x2+x+a，使1≤y≤174对一切-1≤x≤1均成立，则实数a的取值范围为。5.(x-a)(x-b)-2=0的两个根为α,β(ab,αβ),则a,b,α,β的大小关系为。6.函数y=x3-3x和y=mx2+(m-6)x的图象恰好有3个不同的交点。求实数m的取值范围。7.已知18a=5,log189=b,求log4536.(用a,b表示)68.已知a,b,c∈R+,且3a=4b=6c,则()A111cabB221cabC122cabD212cab9.函数f(x)有反函数f-1(x),已知f(x)图像过点(0,-1),则f-1(x+4)的反函数图像必过点.10.f(x)的图象与g(x)=(12)x关于y=x对称,则f(4-x2)的单调增区间为.11.若y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,求a的范围.12.函数y=f(x)有反函数y=g(x),若f(3)=-1,则y=g(x-1)必过点.13.x1是x+lgx=3的根,x2是x+10x=3的根,求x1+x2=.14.已知y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若t在[-2,2]上变化时,y恒取正值,求x的取值范围.15.函数f(x)与y=3-x的图象关于y=-x对称,则f(x-1)的定义域为.16.若(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y,则()Ax+y0Bx+y0Cx+y≥0Dx+y≤017.已知a0且a≠1,f(x)=x2-ax,当x∈(-1,1)时均有f(x)12,则实数a的取值范围是.18.已知log(2a+3)(1-4a)2,则a的取值范围是.19.下列式子中恒成立的有()个①lgab=lga+lgb;②lga2=2lga;③a=2a;④npnpmqmqaaa.20.若方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2lg3=0的两根为α,β,求α·β的值.21.函数f(x)=loga(x2-ax+2)在区间(1,+∞)上恒为正值，则实数a的取值范围是.