函数极限中等价无穷小的应用探讨

函数极限中等价无穷小的应用探讨姓名：王广祥09级应数三班学号：09041100423摘要:利用等价无穷小量代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法。围绕无穷小之比、变上限积分的极限、幂指数函数极限和Taylor公式，利用等价无穷小代换思想进行分析应用，以此达到极限求解中化繁为简、化难为易的目的。关键词：等价无穷小；函数；极限；应用定理1在自变量同一变化过程中的无穷小量，设~,~,且lim存在，则0fx定理1说明，无穷小替换只能在商运算中使用。其实不然，下面介绍另外三种用法。1无穷小之比无穷小代换在商式中使用时，必须满足一定条件，否则就会出现错误。比如：例1求0tansinlim.xxxx解：原式=30lim0.xxxx事实上，应该是如下情形：3200sin1costansin1limlim.cos2xxxxxxxxxx究其原因，无穷小代换在商式中使用时，必须满足一定条件，即定理2.定理2设~,~,则：（1）若与不等价，则~,（2）若与等价，则与未必等价。证明：（1）若与不等价，设0lim1xkk，于是有若,k则0011limlim11xxkk。若k，则0lim0x，于是00110limlim1.10xx（2）以上述例题为例，其原因在于当0x时，tan~,sin~xxxx与xx并不等价。推论：设,,是自变量同一变化过程中的无穷小量，且~,~,则有：（1）当与不等价时，则00limlimxx；（2）当与等价时，上式极限未必成立。例2求0arctan21lim.1tan3ln1arcsin32xxxexxx解由定理2及其推论可得原式=02lim61332xxxxxx2变上限积分的极限常用变上限积分的等价无穷小有：20000000~sin~tan~sin~arctan~ln1~1~2xxxxxxxtxtdttdttdtarctdttdttdtedt301cos~6xxtdt2011~2xaxdtx2011~ln2xtadtxa其中a0，a1.上述等式可以用洛必达法则直接证明，证明中我们可以看到被积函数之间均是等价无穷小，由此可得将被积函数用等价无穷小代换后的变上限积分仍是等价无穷小，即是：定理若当0,0,xfxfx存在，0,0,~,FxGxFxGx则00~fxfxFxdtGtdt证明00000000limlimlimlim1fxfxfxfxxfxfxfxFtdtFtdtFfxfxFfxGfxfxGfxGtdtGtdt由此定理还可以得出如下结论，例如：tantan223001sin~tan03xxtdttdtxx20011~2fxfttdttdtft（当0x时，0fx。）例3求220sin0301limxtxxedttdt.解:原式=26260sin4000340143limlimlim013sin4xxxxxxtdtxxtdtx.例4求601cos020arctan1lim11xxxtdttttdt.解:原式=666020001cos3601ln11limlimlim4811111cos23682xxxxxdtxtxtxxdt.3幂指函数极限和Tayor公式使用。定理设~,~,且10lim1xA,则1100lim1lim1xxA证明：1100ln1limln1limln11xxA例5求201limcosxxx。解：因为440111114!42!lim4!42!12xxx，当x时，有2211sin~22xx，所以原式=2212122220011lim12lim142xxxxexx例5求2240coslimxxxex。解2242421cos~1,~12!4!2!42!xxxxxxe24211cos~4!42!xxex因此，原式=440111114!42!lim4!42!12xxx综上所述，我们看到等价无穷小的应用广泛，但还是要具体情况具体分析，同时结合洛必达法则，选择合理恰当的方法进行求解。参考文献：【1】同济大学数学教研室，高等数学（上册）（第4版）。北京：高等教育出版社，2006.【2】符世斌，幂指函数极限的一种简捷求法【J】。高等数学研究，1999,2【3】杨春林，张传芳，变上限积分的等价无穷小【J】。高等数学研究，2004（11）【4】肖岸纯。等价无穷小性质的理解、延拓及应用【J】。数理医药学杂志，2007,20（5）。