函数的单调性与导数的关系

淄博实验中学：亓德明通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起跳到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即是增函数。相应地，（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减小，即是减函数。相应地，th'0vthtth'0vtht观察：oabtvoabth2()4.96.510httt一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。'0fxxfy'0fxxfy（1）oxyxy（2）oxy3xy（3）oxyxy1（4）升华：1、研究函数的单调性时有两种方法：定义法、导数法。2、结论中的区间，即为单调区间。xyo2xy例1:判断下列函数的单调性，并求出单调区间：3322(1)()3;(2)()23121;(3)()23;(4)()sin,(0,).fxxxfxxxxfxxxfxxxx3'223(1)()3,()333(1)0.()3.fxxxfxxxfxxxxR解：因为所以因此，函数在上单调递增其单调递增区间为（-，+）。32'2'32'32(2)()23121,()6612.()0,()23121;()0,()23121.fxxxxfxxxfxfxxxxfxfxxxx因为所以当即x1或x-2时，函数单调递增当即-2x1时，函数单调递减单调递减。时，函数即当单调递增；时，函数即当所以因为32)(1,0)(32)(1,0)().1(222)(,32)()3(2'2''2xxxfxxfxxxfxxfxxxfxxxf'(4)()sin,(0,),()cos10.()sin(0,).fxxxxfxxfxxxx因为所以因此，函数在内单调递减点评：1、方法：定义法和导数法，优先选择导数法。2、导数法求单调区间的基本步骤：1）求导函数；2）解和；3）写出单调区间。0)('xf0)('xf3、单调区间不能合并。4、端点有意义时，单调区间为闭区间。例2：已知导函数的下列信息：)('xf图像的大致形状。试画出函数时，或当时，或当时，当)(.0)(1,4;0)(1,4;0)(41'''xfxfxxxfxxxfx解：。我们称它为“临界点”这两点比较特殊，时，或当个区间内单调递减；在这两可知时，或当单调递增；在此区间内可知时，当,0)(1,4)(,0)(1,4)(,0)(41'''xfxxxfxfxxxfxfxo14xy)(xfyoyx14点评：1）数形结合思想、转化思想；2）临界点为单调区间的分水岭。练习：1、函数y=f(x)的图象如图所示，试画出导函数的图象的大致形状。)('xf2、判断下列函数的单调性，并求单调区间。xxxxfxxxf232)()242)()1o12345yx小结：1、函数单调性与其导数的正负关系；2、导数法求单调区间的基本步骤；3、数形结合思想、转化思想。课后练习及作业：P101,3、4。