函数的和差积商的导数教案

函数的和差积商的导数教案教学目的1．使学生学会根据函数的导数的定义推导出函数导数的四则运算法则；2．使学生掌握函数导数的四则运算法则，并能熟练地运用这些法则去求由基本初等函数的和、差、积、商构成的较复杂的函数的导数．教学重点和难点本节课的重点是求函数的和、差、积、商的导数的运算法则．难点是求函数的积和商的导数的运算公式及其推导方法．教学过程一、复习提问1．求导数的三个步骤是什么？(先让全体学生回忆，再请一名学生单独回答．若答错或不完善则请另外学生纠正或补充．)(1)求函数的增量：Δy=f(x＋Δx)－f(x)；2．试用导数的定义求函数y＝x＋x2的导数．(要求全体学生在课堂练习本上做，同时找一至两名学生板演．)解：设y=f(x)＝x＋x2，则Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝[(x＋Δx)＋(x＋Δx)2]－(x＋x2)＝Δx(1＋2x＋Δx)，二、引入新课让学生观察复习提问2的结果：y′=1＋2x．从这个结果可以得到以下两点启示：1．函数y＝x＋x2是两个函数(y＝x和y＝x2)的和，它的导数可以用导数的定义直接求得；2．函数y＝x＋x2的导数y′=1＋2x，恰好是函数y＝x和y＝x2导数的和．那么，任意两个函数的和的导数是否都是这两个函数导数的和呢？结论是肯定的．三、讲解新课1．和(差)的导数．法则1两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)．即其中u和v都是x的可导函数．证明：(可让学生自己完成．)设y=f(x)＝u(x)＋v(x)，则Δy=[u(x＋Δx)±v(x＋Δx)]－[u(x)±v(x)]=[u(x＋Δx)－u(x)]±[v(x＋Δx)－v(x)]=Δu±Δv，即y'=(u±v)'=u'±v'．追问：条件“u和v都是可导函数”有没有必要？它在证明法则的过程中用于何处？说明：这个法则可以推广到任意有限个函数，即例1求函数y＝x3＋sinx的导数．解：y'＝(x3)'＋(sinx)'＝3x2＋cosx．设问(继续引入新课)：既然有(u±v)'＝u'±v'，那么是否也有呢？就上述“设问”给出两个反例，以防止极限运算中，积和商的法则在此处的负迁移：①把函数y＝x3看作函数u(x)=x和函数v(x)=x2的乘积，即y=x·x2．按(1)求导有：y'＝(x·x2)'＝(x)'·(x2)'=2x．显然与y'＝(x3)'＝3x2的正确结果不符．可见该(1)为谬．那么，正确的法则是什么呢？我们可以由导数的定义直接推导出来．2．积的导数．法则2两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数．即其中u和v都是x的可导函数．证明：设y＝f(x)＝u(x)·v(x)，则Δy=u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)＝u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x＋Δx)＋u(x)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)，因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是当Δx→0时，v(x＋Δx)→v(x)，从而即y'=(uv)'=u'v＋uv'．若c为常数，则从[法则2]立即可以推出：(cu)'=c'u＋cu'=0＋cu'=cu'．就是说，常数与函数的积的导数，等于常数积以函数的导数．即例2求函数y＝(2x2＋3)(3x－2)的导数．＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9．3．商的导数．法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．即因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是当Δx→0时，v(x＋Δx)→v(x)，从而即解：例4求证当n是负整数时，公式(xn)'=nxn-1仍然成立．证明：设n=－m(m为正整数)说明：当n＝0时，(xn)'＝nxn-1也成立，所以对于一切整数n，公式(xn)'＝nxn-1成立．四、小结1．通过用导数的定义求导数的方法，可直接推导得函数和(或差)、积、商的导数公式：(1)(u±v)'=u'±v'；(2)(uv)'＝u'v＋uv'；(cu)'＝cu'(c为常数)；其中u和v是x的可导函数．2．公式(2)对于u和v是对称的，而公式(3)对于u和v却不是对称的，这一点要特别注意．3．和(或差)的导数法则可以推广到任意有限个函数的情况那么，对于任意有限个函数的积的导数又怎样呢？(此问题要求学生在课后思考，下一节课将给予回答．)五、布置作业1．阅读课本中“函数的和、差、积、商的导数”这一节的课文；2．求下列函数的导数：(1)y＝5x5－3x3＋x－25；(2)y=ax4－bx2＋c；(3)y＝sinx－x＋1；(4)y=x2＋2cosx；(5)y=(3x2＋1)(2－x)；(6)y=(1－2x3)(x－3x2)；(7)y＝sinx(1－x2)；(8)y=(1＋2x)(1－cosx)；