函数的性质与图像的研究

教学评比专栏――1函数的性质与图像的研究数学教研组王晓芸【复习要求】1．复习巩固常见函数的性质与图像，独立的开展函数性质的相关研究。2．灵活的运用观察、类比、联想、归纳等的数学思维方法。3．在探索活动中能在教师引导下体验数学研究活动的一般过程。【要点回顾】1．一次函数)0k(bkxy、二次函数)0a(cbxaxy2、幂函数xy的有关性质与图像。2．指数函数)1a,0a(ayx、对数函数)1a,0a(xlogya有关性质与图像。3．三角函数与反三角函数的性质与图像。4．函数性质的研究包括定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、周期性、对称性及图像等方面。【头脑体操】1．若二次函数bxx2y2与函数4)2x(1y的具有相同的对称轴，则二次函数的最小值为_____。2．定义在),0(上的函数f(x)满足0)1(f，且f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，写出)x(f的的一个解析式_____。3．二次函数)x(fy满足：①定义域为]1,1[；②关于直线0x对称；③值域为]2,2[，则)x(f_____。4．若函数)1a,0a(|x|log)x(fa递增区间为)0,(，则当)0,(x时)x(f的反函数是)x(f1_____________________。【例题精讲】例题1．(1)函数)x(f是奇函数；(2)对于任意Rx，都有)x1(f)x1(f；(3)函数)x(f在]1,(上单调递减；(4))0(f不是函数的最小值。根据以上条件，写出一组能满足其中三条性质的函数)x(f的解析式。例题2．对于任意定义在区间D上的函数)x(f，若存在实数Dx0，满足00x)x(f，则称0x是函数)x(f在区间D上一个不动点．．．。请同学们在刚才研究1的基础上，探求自己所得到的函数的不动点。将问题研究1中性质（1）（2）（3）中一条修改为：“函数)x(f有2个或2个以上的不动点。”能否写出同时满足四条性质的一个函数)x(f解析式。【跟踪训练】1．已知函数1axxa)x(f的反函数的图像的对称中心是)3,1(，a＝_____。2．奇函数)x(f在),0(上递减，且0)3(f，则不等式0)x(xf的解集是___________。3．定义在R上的函数)x(fy满足条件：①)x(f不是常值函数；教学评比专栏――2②)x(f)x2(f，)1x(f)1x(f对于任意Rx恒成立，则下列命题中正确的是_________________：①)x(f是周期函数；②)x(f图像关于y轴对称；③)x(f的图像关于原点中心对称。4．定义在R上的奇函数)x(f，对于任意实数x，总有)x(f)2x(f，当)1,0(x时x)x(f，求当)3,1(x时，)x(f的解析式。5．已知定义在R上的函数)x(f具有如下的三个性质：①若任意Rxx21、且21xx，当0xx21时，有)x(f)x(f21；②若21xx且),0(x,x21，则点)x(f,x11与点)x(f,x22的连线的斜率小于0；③任意的Rx]1,0()x(f。写出符合条件的一个函数解析式。6．根据例题2中不动点的定义：若函数ax1x2)x(f在),0(没有不动点，求a的范围。【拓展研究】1．是否存在无限个不动点的函数？若有指出其函数特征。2．定义在R上的奇函数的不动点若为有限个，则数目有什么特点？请证明你的结论。能否推广至其他特殊的函数？教案说明：教材分析函数的性质与图像是高中数学中重要的内容，因此要求学生能够灵活运用函数的性质，掌握常用函数的图像特征，并能运用函数的思想方法解决一些具体问题。学生分析高三学生已能独立地研究一些函数问题；针对各班不同的特点，授课形式教学中也可适当变通。为下阶段在其他数学知识的复习中加强探索性问题的研究作好铺垫。目标分析激发学生学习的兴趣，体验探索研究的乐趣，努力创设“自主、合作、体验、发展”的课堂研究氛围。着重培养学生观察、类比、联想、归纳的数学探索的思维方法，形成自觉的数学能力和意识。引导学生在探索活动中有意识地总结数学研究活动的一般过程，从而培养学生实践能力及创新精神。教学重难点这堂课的教学重点一是函数性质研究的数学思想方法，数形结合，类比联想；二是揭示数学研究活动的一般过程。由性质探求未知的函数解析式思维的关键是根据性质绘出图像，突破口是根据图像性质写出解析式。前者需要数形结合，后者需要合理类比联想。过程分析第一段落：预热通过预习作业能使学生明确教学的目标，从而很快地进入问题研究，也能达到巩固旧知的目的。第二段落：例题一情景创设为学生营造了浓厚的研究气氛。学生通过独立研究和小组的交流，教学评比专栏――3变被动学习为主动探索。思维的关键是根据性质绘出图像，思维的突破口是根据图像性质写出解析式。前者需要数形结合，后者需要合理类比联想。逐步形成对数学研究活动的一般过程的认识（绘出框图）第三段落：例题二新概念的学习：函数不动点与例题二前后呼应，增强学生的主体参与意识揭示函数的二性——“数”的特征与函数“形”的特征其他可能的函数性质与图像研究设想其他高中数学领域的探索性问题研究第四段落：课堂小结研究函数性质的思想方法；（知）数学研究活动的一般过程；（能）数学学习的魅力。（情）方法分析采用开放式教学方法，有计划的引导学生进行探索活动，使他们亲历了数学研究的全过程。巩固函数性质是数学学习的基本技能，逆向思维则是提高学生研究性学力的过程。灵活运用数形结合思想，形成主动用数学的意识，锻炼他们数学语言的科学性、准确性。评价分析问题设计中的不完备条件决定了学生思维活动的开放性。思维出发点不同：正比例函数或奇次幂函数；二次函数或V字形折线（分段函数）；周期函数（三角函数）解析式的建立过程不同：绘出图像联想——逐条检验修正；特殊的解析式——归纳一类函数学生学习能力水平的高低决定了教师教法的开放性。发散思维：函数解析式不唯一；科学思维：一般函数的归纳验证；学生困难：周期函数的解析式学生探索成果的自我展示中数学语言的科学性、准确性也会影响到课堂教学的成效。为今后在数列、解几等方面探索问题的研究，打好基础。教后感：顺利完成这堂课，虽然结尾处有点匆忙，但基本达到了我预设的教学目标。每位学生根据自己的能力开展了对两个问题的探究，我也能抓住学生思维的火花，引导他们深入的思考问题，体验数学研究活动的乐趣。本堂课的特点是开放，设问开放，活动开放，结论开放，但开放的“度”是很难掌控的，我想充分的准备是必须的。作为教师，上这样的一堂课，要求在课前要对问题深入的钻研，预计会出现的不同结论，并站在学生的角度分析他们的研究过程，才能从容应对，我在课前所作的工作之一，是对几种常见的发现问题产生联想给予修正加以归纳教学评比专栏――4解（一次函数、二次函数、分段函数、三角函数）进行一一分析，从特殊归纳到一般，提炼结论。当然有时还是会有预想不到的，这是要靠教师的随机应变。今天，一同学提出分段函数研究时，他提出函数图像完全符合要求，因此大家都很兴奋，但意想不到是他说“随便”写个函数就可以。我就以此契机，提出“不能随便但却可以随便”，即函数解析式y＝|x－1|中可以推广到y＝a|x－1|，系数a可以“随便”取任意正数。并且在此基础上，将另两类结论也作了同样的推广。这样的处理是十分成功的，学生思维很活跃，但缺乏说服力，因为他们的想法比较直接，研究显得很粗糙，数学语言不规范，不能将问题看透彻，这时教师的主导作用会显现出了。通过合理追问能将学生引导向更深层的思考。这堂课中有我设想到但没有实施好的地方。由性质构造函数有两种常用的方法：由特殊性质联想初等代数函数，在其他性质检验中，不断修正；由几条性质绘出函数图像，再有图像展开合理联想。今天课上，学生基本以前一方法为主，数形结合为辅，而数形结合是高中数学思想中最常用的思想方法之一，因此学生有意识、也能有目的运用它。在小结中，我提到了前者没有强调后者，这应该是美中不足之处。对性质（1）（2）（3）的矛盾处理略显快。金校长提出的设想，我觉得很赞同，我们不能因为高考压力而不开展研究活动实践，这也是我设计这堂开放型的课的主旨之一。高三学生在复习中，重点围绕着数学基础知识、基本方法，所涉及到问题都是有解答的，这是高考复习的普遍现象。像这样不具备答案的问题，虽然不是常规的设问方式，但这样的体验却是高三学生所缺乏。同学可以在研究过程，自己发现矛盾，远比我提出来的有意义的多。既增加了新的亮点，也使学生更辩证的看待问题，挑战权威。点评（金红卫：中学数学高级教师，区名导师）：王晓芸老师执教的《函数的性质与图像的研究》一课是高三第一轮复习基础上的一节函数小专题复习课。课的特征很明显：知识容量大，思维容量也大。以下就课堂预设与生成谈一点自己的想法。王晓芸老师教学基本功扎实，在重视课堂预设的同时，积极应对课堂生成，用不断的追问暴露学生的思维过程。我们知道，备课过程其实就是对课堂教学过程进行预设的过程。一般，我们总是根据课程标准的要求、教材内容和学生已有知识、方法的基础上进行预设。由于王晓芸老师选择的两个例题都是开放性例题，既有条件上的开放，又有结论上的开放，还有思维方法上的开放，预设要求比较高。譬如在例题1中，思维方法有好几种，如把已经学过的不同函数类型逐个进行验证，或者通过数形结合的方法直观寻找，或者先满足其中一、二条，再教学评比专栏――5进行修正完善等等。应该说，教师的预设比较好，三位学生得到的结论都在教师的预设之中，而第四位学生的想法也在教师的预设之中。而且王老师能随机应变，借题发挥，得出更具一般性的结论。由于在预设中，怕学生寻找满足条件(1)(2)(3)的函数时会出现问题（满足这三个条件的函数是不存在的），教师直接通过对题目的分析进行了排除。其实，完全可以让学生做一做，出现问题再进行分析、反思，问题的解决不仅指得出肯定的答案，而且也指会进行否定。让学生在研究过程中，自己发现问题，得出结论，那样的话，效果会更好一些。教师从概率的角度估计，三种不同的情况基本可以出现。事实上，三种情况也确实都出现了，但第三种情况出来得比较勉强。万一不全出现怎么办？其实，可以想点办法，如通过小组合作的途径，让每个小组4位学生分别选一种进行求解即可。在例题2中，学生不知道找不动点的方法或许老师没有预设到。事实上，由于没有具体的函数，一部分学生确实无从下手。说明对学生的预设还不够严谨。由于课堂教学是一种以课堂生成为主要形式，但有质量的课堂预设可以比较好的调控课堂，为提高课堂教学质量和效益打下良好的基础。教师应重视课堂预设，但课堂教学防不胜防，这就需要教师有扎实的学科知识与应变能力。教师听课一得：金继波：高三复习课的教学重视在解决问题的过程中思维训练和方法的突破，有效增大复习的思维力度，在解决问题过程中进一步对知识结构的建立，使学生学会学习归纳有很大突破。徐建华：使用教学案一体化，可以让学生在课前有所准备，更能体现以学生为本。以学生自身特点出发，着重基础，突出重点，使高三复习在高效、高节奏中进行。学案制订要适合本班学生特点，照顾到各类学生的学习。金纲：充分调动学生的积极性，通过两个例题来展示研究性学习进入课堂，为高考数学的最后一小题服务，让学生展示自己的研究成果，提高学生学习数学的积极性。不一定每节课都用多媒体，王老师处理得很好。黄艳丽：上课富有激情，极大地感染了学生。采用开放式教学方法，有计划地引导学生进行探究活动，使学生体验了数学学习的魅力，也知道了数学研究的一般过程。陆正茂：王晓芸老师的课生动活泼，有激情，形象，易理解，师生间气氛和谐轻松，非常符合“二期课改”的以学生为本的理念。亲切的话语、和蔼的笑容、自信的手势、伶俐的追问，使学生欲罢不能，被调动得团团转。