函数表示及基本性质讲座

1函数表示及其基本性质1.映射定义：设A、B是非空的集合，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射（一对一，多对一）注意：映射是有方向性的。符号：f：AB集合A到集合B的映射一一映射两个特点：1对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象（单射）2集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象（满射）即集合B中的每一个元素都有原象。2.函数定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．（函数是特殊的映射，）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．注意：⑴“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；⑵函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。3.函数的三要素：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）例如：f(x)=x+2与g(x)=2x-1()定义域，值域相同，对应法则不同2232)5(,)4(,)3(,)2(,)1(xyxxyxyxyxy(1),(3)为同一函数4.函数表示法：解析法，列表法，图像法5.函数定义域的求法分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数tan...(,,)2yxxRxkk且复合函数的定义域。如：1.已知函数()fx的定义域为（1，3），则函数()(1)(2)Fxfxfx的定义域。1(1,3)2(1,3)xx2.函数()fx的定义域为(,)ab,函数()gx的定义域为(,)mn,则函数[()]fgx的定义域为()(,)(,)gxabxmn，解不等式，最后结果才是23.已知函数(1)fx的定义域为(1,3),求函数()fx的定义域；或者说，已知函数(1)fx的定义域为(3,4),则函数(21)fx的定义域为______?6.函数值域的求法（1）、直接观察法对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。例求函数1,[1,2]yxx的值域（2）、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数225,yxxxR的值域。（3）、根判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简（4）、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)直接求函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域。例求函数3456xyx值域。346456345635xyyxyyxxxy,分母不等于0,即35y.112..22222222bay型：直接用不等式性质k+xbxb.y型,先化简，再用均值不等式xmxnx1例：y1+xx+xxmxncy型通常用判别式xmxnxmxnd.y型xn法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉xx1（x+1）（x+1）+11例：y（x+1）1211x1x1x13（5）、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例求函数11xxeye，2sin11siny，2sin11cosy的值域。（6）.倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数23xyx的值域7.函数解析式的求法1．配凑法例１已知2(1)2fxx，求()fx．解：22(1)2(1)2(1)3fxxxx，即2()23fxxx．2．换元法例2若2(1)21fxx，求()fx．解：令1tx，则1xt，22()2(1)1243ftttt．2()243fxxx．3．解方程组法222110112sin11|sin|||1,1sin22sin12sin1(1cos)1cos2sincos114sin()1,sin()41sin()114即又由知解不等式，求出，就是要求的答案xxxeyyeyeyyyyyyyyyxyxyyxyy4若已知()fx满足某个等式，这个等式除()fx是未知量外，还出现其他未知量（如()fx，1fx等）．可以利用相互代换得到方程组，消去()fx或1fx，进而得到()fx的解析式．例3若2()()1fxfxx，求()fx．解：2()()1fxfxx，用x去替换式中的x，得2()()1fxfxx，即有2()()12()()1fxfxxfxfxx，，解方程组消去()fx，得()13xfx．4．待定系数法当题设给出函数特征，求函数的解析式时，可用此种方法，如函数为一次函数，可设()(0)fxaxba，再利用恒等原理确定其系数．例4设方程210xx的两根为，，试求满足()f，()f，(1)1f的二次函数()fx的解析式．解：由已知条件，可得1，1，显然，即0．设二次函数2()(1)fxaxxbxc．，为方程210xx的两根，210且210．222()(1)()(1)(1)(111)1fabcfabcfabc，，，可得1bcbcabc，，，故111abc，，，22()(1)122fxxxxxx．5．特值法此法适用于所给的关系式中，无论自变量在定义域内取何值，关系式均成立，通过取某些特殊值代入题设的等式中，有时能使问题具体化、简单化，顺利找出规律，求出解析式．5例5已知(0)1f，()()(21)()fpqfpqpqpqR，，求()fx．解法1：令0p，得(0)(0)(1)fqfqq，即()1(1)fqqq．又令qx，代入上式，得2()1()(1)1fxxxxx，2()1fxxx．解法2：令pq，得(0)()(1)ffppp，即2()1(1)1fppppp，2()1fxxx．2320121112202222012时，时，=00xyxxxxyyxxxyy函数的基本性质要点总结一、单调性要点1:增函数、减函数定义及图象特征一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于定义域Ｉ内某个区间上的任意两个自变量的值，，当＜时，都有f（）＜f（），那么就说f（x）在这个区间上是增函数。减函数的定义类似。反映在图象上，若是区间D上的增（减）函数，则图象在D上的部分从左到右是上升（下降）的。关于函数单调性的理解：（1）函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言有些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数；还有的函数是非单调的，如常数函数y=c。（2）函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质。因此，若要证明在[a，b]上是递增的，就必须证明对于区间[a，b]上任意的两点x1、x2，当x1＜x2时都有不等式f(x1)＜f(x2)成立。6若要证明在[a，b]上不是单调递增的，只须举出反例就足够了。即只要找到两个特殊的x1、x2，若a≤x1＜x2≤b，有f(x1)≥f(x2)即可。（3）函数单调性定义中的x1、x2，有三个特征：一是任意性，即“任意取x1、x2”，“任意”二字决不能丢掉。证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1＜x2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可。要点2：单调性与单调区间如果函数y＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间就叫做y＝f（x）的单调区间。关于单调区间的书写：函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调性没有意义，书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。若函数在其定义域内的两个区间A、B上都是增（减）函数，一般不能简单认为在A∪B上是增（减）函数。如在（－∞，0）上是减函数，在（0，＋∞）上也是减函数，但不能说它在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数，事实上，取x1=－11=x2，有f(－1)=－11=f(1)，不符合减函数定义。要点3：用定义证明函数单调性的步骤第一步：取值即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2；第二步：作差变形即作差f(x1)－f(x2)（或f(x2)－f(x1)），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；第三步：定号确定差f(x1)－f(x2)（或f(x2)－f(x1)）的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；第四步：判断根据定义作出结论。即“取值——作差——变形——定号——判断”这几个步骤。要点4：函数单调性的判定方法函数单调性的判定方法主要有：（1）定义法（2）直接法运用已知的结论，直接得到函数的单调性。如一次函数，二次函数，反比例函数的单调性均可直接说出。了解以下一些结论，对于直接判断函数的单调性有好处：①函数与函数的单调性相反；②当恒为正或恒为负时，函数与的单调性相反；③在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等。（3）图像法。二、函数的奇偶性要点1：奇函数、偶函数定义和图象特征（1）如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。0)()()()(xfxfxfxf)0)((,1xfxfxf奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。已知函数f（x）是奇函数，且f（0）有定义，则f（0）=0.7（2）如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数。0)()()()(xfxfxfxf)0)((,1xfxfxf偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。要点2：函数奇偶性的判定方法根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数，其中，函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性．判定函数的奇偶性，包括判断一个函数是奇函数，或者是偶函数，或者既不是奇函数也不是偶函数，或者既是奇函数又是偶函数。（1）利用定义判断函数奇偶性①考查定义域是否关于原点对称奇函数或偶函数的定义域必须是关于坐标原点对称的。如果函数的定义域关于原点不对称，则此函数既不是奇函数也不是偶函数；②判断之一是否成立。（2）根据函数图象的对称特征判断是奇函数还是偶函数。（3）设()fx，()gx的定义域分别是12,DD，那么