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第四章化工过程系统的最优化第一节概述在工程问题中，常会遇到设备费和操作费之间的矛盾。如何在设备费和操作费之间进行权衡，使总费用最小，这就是优化要解决的问题。优化的目标是确定系统中各单元设备的结构参数和操作参数，使系统的经济指标达到最优。最优目标最大产出最大利润费用最低（原料、生产费用最低）技术性能最优（如，产品的收率提高，生产能力的提高等）一.化工中的优化问题二.优化方法的分类1.解析法（间接法）是用数学分析的方法间接地求出最优解。即：0=x,221x)**x(f必要条件TX*=(x1*,x2*)0=x,211x)**x(f∂∂∂∂2.直接法（迭代法）该方法仅利用目标函数在某个区域的性质或一些已知点的函数值，来逐步逼近最优解。3.以解析法为基础的数值计算法该方法在迭代过程中利用了目标函数的解析性质，其收敛速度快。4.网络最优化方法是一种用来求解图模型（网络图的优化问题）的方法。三.优化问题的分类分类静态最优化问题动态最优化问题指目标函数的自变量不随时间而改变；指目标函数的自变量是时间t的函数；静态最优化无约束问题有约束问题无约束问题有约束问题◆单变量优化问题◆多变量优化问题◆线性规划问题◆非线性规划问题──一元函数的极值问题；──多元函数的极值问题；指目标函数和所有的约束函数均为线性函数，即为线性数学模型；指数学模型中至少有一个函数为非线性函数；四.基本概念和数学模型(一).基本概念1.目标函数目标函数又称为经济评价函数，它将经济评价指标与过程系统的主要变量，用一个数学表达式关联在一起。因此，目标函数是整体评价的依据和标准。经济指标利润产率效果函数费用函数费用能耗或单耗maxmin对于反应器的优化问题，常用的经济指标有：◆在不同反应时间下，单位反应器体积的收率最高；◆对间歇反应器，每釜产品量最大；◆对间歇反应器，当产量固定时，其生产周期最短；◆在不同的操作条件下，产品的收率最高；◆在不同的操作条件下，其能耗最低；◆在不同转化率下（未反应的原料循环使用）的利润最大。设目标函数的一般形式为：J=f(x)其中：x＝（x1，x2，…，xn）TmaxJ=f(x)目标函数分类◆效果函数：◆费用函数：minJ=f(x)最大值与最小值间的转换关系f'(x)=[-f'(x)]max-min2.状态方程、状态变量、决策变量和系统自由度最大值和最小值互为负值。◆状态方程──是反映过程系统客观规律的各种平衡式，关系式等。是独立变量，即可以任意取值的变量。它是事先必须人为给定的变量。状态方程的一般形式为：S(x)=0x＝（x1，x2，…，xn）TS(x)=[S1(x),S2(x),…,Sm(x)]T◆状态变量、决策变量和系统自由度变量状态变量─决策变量─是非独立变量，其值决定于状态方程和决策变量；决策变量几何变量：是流程中起决定作用的设备结构尺寸。◆原始输入物流的温度、压力、组成和流率；过程变量◆由外界引入的能量及压力变化；◆反应的转化率；◆系统中存在的独立反应数；◆分流器的分流比；假设x有n个分量，状态方程S(x)=0有m个方程，则状态变量数为m。状态变量数＝状态方程数＝m决策变量数＝变量总数－状态变量数＝n－m决策变量数（n－m）被称为优化时系统的自由度(d)。即：d＝决策变量数＝n－mS(x)=0minJ=f(x)设优化模型为：当nm时，模型有无穷多个解，其中必然有一个解对应的函数值最小，这个解即为最优解。d＝n－m●d0时，系统有无穷多个解，存在寻优问题；●d＝0时，系统只有唯一解，不存在寻优问题；●d0时，系统无解，d0●当d较大时，那么可任意变动的变量就多，相应求得的解就多，增加了优化的难度。●当d较小时，那么可任意变动的变量就少，相应求得的解就较少，优化较容易。由此可见，系统的自由度不仅可以判别过程系统是否存在最优化问题，而且还可以用来确定系统优化的难易程度。3.约束条件是指对变量x的取值范围所给予的限制。分类等式约束（如，状态方程，各种恒等式等）不等式约束例：等式约束：HD24πV=不等式约束:0≤x≤22004.可行域和可行解所有的约束条件所围成的区域就构成了变量x的变化范围。该区域就称为可行域，可行域内的每一个点称为可行点。凡是满足所有约束条件的点就称为可行点。全体可行点的集合就称为可行域。记为：DDx5.最值和极值最优值是最大值和最小值的统称。最优点是最大点和最小点的统称。最小值指的是整个可行域D内,全部可行点所对应的函数值中的最小者，与最小值所对应的点就是最小点。DεDx'x*举例：设某函数f(x)的图形如下，其可行域为：D={x/-3≤x1≤3,-3≤x2≤3}极值和极值点是仅仅针对某个点的附近而言的，比如，在D内的x'点附近的可行邻域内（），当x'所对应的函数值最小时,则称x'为极小点,它所对应的值为极小值。εD最优值和最优点具有全局的意义，而极值和极值点仅具有局部的意义。局部最优往往不一定是整体最优。εD⊂Dx2x1f(x)6.最优化问题的数学模型数学模型分类无约束有约束单变量：多变量：minf(x)minf(x),x=(x1,x2,…,xn)T线性规划非线性规划∑n1=jjijxa≤bi,∑n1=jjjxcmin(i=1,2,…,m)(j=1,2,…,n)xj≥0x=(x1,x2,…,xn)Tminf(x)，hj(x)=0g(x)≥0i(i=1,2,…,m)(j=1,2,…,n)