分离变量在求定解问题时的应用

数学物理方法课程论文题目：分离变量在求定解问题时的应用系别：物理系物理学班级：1101班姓名：李海涛学号：201105021262013年6月7日分离变量在求定解问题时的应用摘要：分离变量在解决数学物理方法微分方程中有着广泛的应用，它是求解微分方程的一种常用的辅助方法，是通过对原方程的变量（固变量或自变量）用新的变量替换使原方程化为相对简单的和我们能解的方程类型，从而达到求解的目的。本文将通过实例给出分离变量在数学物理方法中的具体应用。关键词:常微分方程偏微分方程分离变量正文：物理模型：一个分两段均匀的金属细杆的侧面绝热，两端保持零度，在衔接处按牛顿定律进行热交换，已知杆的初始温度，求其自由冷却。首先需要把这个物理问题表示为定解问题。解：以细杆轴为x轴，杆左端边缘垂直细杆轴的为y轴。杆上温度满足泛定方程21110txxuau（0＜x＜1lt＞0）22220txxuau(1l＜x＜2lt＞0）细杆两端保持零度，可以写出边界条件和初始条件：101010xtxuu﹙0＜x＜1l）222020xltxuu（1l＜x＜2l）在衔接处按牛顿定律进行热交换，可以得到衔接条件11221121xxxkukukuhuu（1）设：两端接触良好，即12kkhh接近于0的情况。于是衔接条件简化为温度和热流连续211122xxuukuku（1xl）按照分离变量法111,xtxtuXT222,xtxtuXT代入泛定方11kh22kxy1u1l2u2l程。齐次边界条件和衔接条件得2111110///xtxtXTaXT2222220///xtxtXTaXT211111///xttXTaXT222222///xttXTaXT2111111///xtxtaXTXT2222222///xtxtaXTXT100X220lX111212llXTXT11112212//llkXTkXT令12TTT可以得到21于是分离结果为2111//aXX10xl100X2222//aXX12lxl220lX（2）1211121211//llllXXkXkX和0/TT（2）式为本征值问题，由齐次边界条件得111sinXBxa2222sinXBlxa（3）代入衔接条件得1122112sinsinBlBllaa11122211122coscoskBlkBllaaaa（4）因为12和BB不能同时为零，所以要求上述代数方程组的系数行列式等于0.即121121122111220sinsincos,coslllaaklkllaaaa（5）若=0，则（4）式中120XX,即为零解，所以0，有211212112121210sincossincoskkllllllaaaaaa令1221kakka11la22la212lll所以上式可以改写为0sincoscossink（6）用近似解求该方程的根，显然当1k时，（6）式可写为0sin解得:212naaL（n=1,2,3……∞）其中2111212aalalLaa特别当12aaa时，2Ll，2naL即退化为均匀细杆的热传导情况，一般设（6）式根或本征值为：2n（n=1,2,3……∞）（7）则本征函数为112222sinsinnnnnnxxanXBlxaX1120xllxl（8）其中已经选取11nB，而2nB由（4）式决定，即2sinsinnnnB（9）其中11nnla22nnla其余方程20/nTT的解为：2ntnTe（10）由（10）式和（8）式可得分离形式的特解，将它们线性叠加得到定解问题的一般解：12,uuxtu1120xllxl21ntnnnAXe（11）代入初始条件可得121xxnnnAX1120xllxl（12）展开系数nA，又因为（8）式的正交性质，可以证明，它们具有正交性质2200lnmnnmXXdxN（13）其中11212122200kxlaklxla（14）所以（13）式也可以写成112212112222012llnmnmnnmlkkXXdxXXdxNaa（15）其中nN为本征函数nX的模利用正交性质（13）式，易得展开系数公式2002,,lnxnnnnnXdxXANXX（16）其中21211201122220012lllnnnxlkkXdxXdxXdxaa1111111201111coslnnnrlkkXdxaraa212222222122221coslnnnlnkBrkXdxllaraa1222112122121211cos`cosnnnnnnnnrlkBrkAllaaarNarN将（16）式代入（11）式，即得到定解问题的解为：212221121221121211,cos`cosnrtnnnnxtnnnnnrlkBrkullXeaaarNarN通过上述例子可以看出，分离变量法在解决实际物理问题中有着非常重要的作用，它是通过把一个实际的物理模型用数学模型表示出来。然后通过分离变量把问题简单化，从而得到物理问题的解。总结：数学物理以研究物理问题为目标的数学理论和数学方法。它探讨的是物理现象的数学模型，即寻找物理现象的数学描述，并对模型已确立的物理问题研究其数学解法，然后根据解答来诠释和预见物理现象，或者根据物理事实来修正原有模型。物理问题的研究一直和数学密切相关，许多数学理论是在物理问题的基础上发展起来的，很多数学方法和工具通常也只在物理学中找到实际应用。在所有的物理领域中，都离不开微分方程。例如，研究气体、液体运动，流体运动和研究固体运动的固体力学中会遇到偏微分方程。在研究物理量，如质量、能量、动量、电量等的转移的所谓的输运方程时，研究电磁波和其他物质波时都会遇到大量偏微分方程。它们将分别是热物理、电磁物理、量子物理、统计物理等的研究对象，当考虑机械运动与热运动、电磁运动等等之间的相互作用时，会遇到更复杂的微分方程。本文通过对分离变量法的应用，让我们更加深刻的认识到数学方法在解决物理问题时起着至关重要的作用，分离变量法的解题思路是把常微分方程转化为偏微分方程进行求解，分离变量法的解题思想是：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知数）。分离变量法概要：一：做分离变量假设，代入方程和边界条件中得到固有值问题。二：确定固有函数和固有值。三：写出定解问题的特解。四：将特解叠加，给出通解。五：用初始条件确定通解系数。六：得到方程的解。用数学方法研究实际问题大致经过以下步骤：首先把实际问题简化抽出物理模型；然后把物理模型定量化，得到数学模型，紧接着便是解数学问题，最后用来解决实际问题。主要参考文献1：胡嗣柱，徐建军，数学物理方法解题指导，高等教育出版社，1997年2：邵惠民，数学物理方法（第二版），科学出版社，2010年3：汪德新，数学物理方法（第三版），科学出版社，2011年4：王竹溪，郭敦仁，特殊函数概论，北京大学出版社，2000年5：郭敦仁，数学物理方法（第二版），高等教育出版社，1991年6：陆振球，经典和现代数学物理方法，上海科学技术出版社，2004年7：吴崇试，数学物理方法（第二版），北京大学出版社，2003年8：严镇军，数学物理方法，中国科学技术大学出版社，1999年9：姚端正，梁家宝，数学物理方法（第三版），科学出版社，2010年10：姚端正，数学物理方法学习指导，科学出版社，2001年11：梁昆淼，数学物理方法（第四版），高等教育出版社，2010年