分离变量法在高考导数题中的运用

1分离变量法在高考导数题中的运用昆明市、云南师范大学五华实验中学侯书红[摘要]在高考导数考题中常涉及求参变量的取值范围问题。对于这类问题常可采用分离参变量来求解。所谓分离变量法就是将参变量分离出来如求参变量取值范围，先分离出参变量a，再应用()afx恒成立则max()afx；或()afx恒成立，则min()afx，最后转化为求()fx的最值。关键词：求导数；求最值；分离变量法正文：本文从2010年全国Ⅰ、全国Ⅱ卷中选取文科的两道导数题类谈一谈分离变量法的应用。（值得注意的是：（1）此解法与标准答案所用方法不同；（2）采用此方法全国Ⅰ、Ⅱ卷的考题如同一辄）（2010年全国Ⅰ文科）已知函数42()32(31)4fxaxaxx（Ⅰ）当16a时，求()fx的极值；（Ⅱ）若()fx在（-1，1）上是增函数，求a的取值范围[解]（Ⅰ）省略请参考高考答案（Ⅱ）因为2'()4(1)(331)fxxaxax所以当(1,1)x时，()fx为增函数当且仅当'()0fx即24(1)(331)xaxax恒大于等于010x2331axax恒小于等于0即23310axax（分离参变量a）2得2211113()3[()]24axxx易知(1,1)x时，211()()24xx的最大值为2，最小值为14maxmin()()fxafx即4136a亦即a的取值范围是41[,]36[2010年全国Ⅱ文科]已知函数32()331fxxaxx（Ⅰ）设2a，求()fx的单调区间；（Ⅱ）若()fx在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围.解：（Ⅰ）可参见高考标准答案（Ⅱ）因为2'()363fxxax若()fx在(2,3)x中至少有一个极值点当且仅当方程'()0fx至少有一个实数根所以由23630xax分离变量a得：11()2axx由于1()xxx是对钩函数易知(2,3)x时，()x总是单调递增.maxmin()()xax时，()fx在区间（2，3）中至少有一个极值点a的取值范围是（55,34）