分部积分的计算方法

§7.2分部积分法与换元积分法(一)教学目的：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法．(二)教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．————————————————————————如何计算不定积分xdx2cos？我们知道，Cxxdxsincos，那么是否有Cxxdx2sin2cos？显然不对。计算不定积分，仅有直接积分法还是不行的。如xdx2cos、xdxln、xdxtan等积分就不能直接积分，下面探讨其它的计算不定积分的方法。一、换元积分法1．凑微分法定理1（第一换元积分法）若函数)(xu在[a,b]可导，且)(x，],[u，有)()(xfxF，则函数)()]([xxf存在原函数)]([xF，即CxFdxxxf)]([)()]([**具体应用此定理计算不定积分时，其过程是这样的：CxFCuFduufxdxfdxxxfxuxu)]([)()()()]([)()]([)()(例7．求dxx35分析：我们有公式Cxdxx34343，而上述积分中被积函数根号里面还要加5，不能直接用公式。为了能用公式计算，进行凑微分：)5(xddx解：CxCuduuxdxdxxxuxu345343533)5(4343)5(55例8．求dxx)85sin(分析：为了能应用公式计算，进行凑微分：)85(51xddx解：uduxdxdxxxusin51)85()85sin(51)85sin(85CxCuxu)85cos(51cos5185一般地，在计算积分的时候，有时为了化为能用公式计算，我们常根据需要作下面的凑微分公式：（1）)()(1)(baxdbaxfadxbaxf**计算熟练以后，就可以省略“设”的步骤，把所设的式子当作一个整体，在心里面想着它是一个变数，就可以使书写简化。如上面的例子，就可以简化为Cxxdxdxx3433)5(43)5(55Cxxdxdxx)85cos(51)85()85sin(51)85sin(例9．求dxexx121分析：注意到我们有xddxx112解：Cexdedxexxxx111211一般地，我们有凑微分公式：（2）duufkxdxfkdxxfxkkkk)(1)()(1)(1特殊地，有xdxfdxxfx11112，xdxfdxxfx21，221xdxdx等等。除此以外，我们还可以写出许多凑微分公式：（3）;)(sin)(sincos)(sinduufxdxfxdxxf（4）;)(cos)(cossin)(cosduufxdxfxdxxf（5）.)()(sec)(2duufdtgxtgxfxdxtgxf（6）.)()()(duufdeefdxeefxxxx（7）.)(ln)(ln)(lnduufxdxfxdxxf（8）;)(arcsin)(arcsin1)(arcsin2duufxdxfdxxxf（9）duufdarctgxarctgxfdxxarctgxf)()(1)(2例10．求xdxx22)115(分析：应用凑微分公式（2），有)115()115(101)115(22222xdxxdxx解：（略）例11．求dxxx3234例12．求dxxa221例13．求dxxa221例14．求dxxxln1例15．求xdxxsincos2例16．求xdxxdxseccsc和补充例题：dtgxxtgxdx2261sec.secsec1secsecsecsec2222435xdxxdxtgxdxxtgdttarctgtxdxxarctgdxxxxarctgxt21212)1(cxarctgcarctgttgtarctgtdarc22)()(22．第二换元法这是一种与凑微分法的过程刚好相反的计算不定积分的方法。定理2（第二换元积分法）若函数)(tx在],[可导，()atb，且0)(t，函数)(xf在],[ba有定义，],[t，有).()]([)(ttftG则函数)(xf在],[ba存在原函数，且CxGdxxf)]([)(1具体应用此定理计算不定积分时，其过程是这样的：CxGCtGdtttfdxxfxttx)]([)()()]([)(1)()(1例17．求dxxa22分析：被积函数带有根号，想办法去掉。联想到三角函数公式22cossin1，于是作变换22sinttax，则tataaxacossin22222，根号去掉了。解：设22sinttax，则tdtadxtaxacos,cos22，于是Ctatatdtatdtatadxxa2sin42coscoscos222222由taxsin，得221cosxaat，所以2222cossin22sinxaaxttt∴CxaxaxaCtatadxxa22222222arcsin22sin42一般地，当被积函数是含有形如22xa)0(a的式子时，都可考虑作变量替换taxsin，目的是去掉根号。此时,cos22taxa,costdtadx.arcsinaxt例18．求22axdx解：设22tanttax，则有taaxtdtadxsec,sec222，于是Ctttdtdttataaxdxtanseclnsecsecsec222要将变量还原为x，由axttan，可得aaxt22sec，于是xat22axCxaxCaxaaxCttaxdx222222lnlntansecln一般地，当被积函数是含有形如22ax)0(a的式子时，都可考虑作变量替换taxtan，目的是去掉根号。此时taaxtdtadxsec,sec222，.arctanaxt例19．求022aaxdx解：设taxsec，则有tdttadxtansec，taataaxtansec22222∴dttattaaxdxtantansec22当20t时，Ctttdtdttattaaxdxtanseclnsectantansec22由taxsec，得axtsec，aaxt22tan，于是CaxxCttaxdx2222lntansecln当t2时，Ctttdtdttattaaxdxtanseclnsectantansec22由taxsec，axtsec，aaxt22tanCaxxCaxxCttaxdx222222lnlntansecln综上所述，对任意,,aax，有Caxxaxdx2222ln一般地，当被积函数是含有形如22ax)0(a的式子时，都可考虑作变量替换taxsec，目的txa22ax是去掉根号。此时tdttadxtansec，taataaxtansec22222二、分部积分法我们知道，vuvuuv即vuuvvu于是，vdxuuvdxvuuvdxvu或vduuvudv这就是分部积分公式。应用分部积分公式计算不定积分的过程一般为：vdxuuvvduuvudvdxvu在这里，主要是把不定积分dxvu的计算转化为不定积分vdxu计算。通过这样的转化，往往会达到化未知为已知，化繁为简，化难为易的目的。在分部积分的过程中，还是要凑微分，例1．求xdxxsin分析：初看这道题，会感到无从下手。尝试一下使用分部积分。可以有两个凑微分的方向：)(sin21sin2xxdxdxx或xxdxdxxcossin走哪条路好呢？通过尝试可以知道，第一种方法越算越复杂，无法得到结果。第二种方法刚好相反。解：Cxxxdxxxxxdxdxxsincoscoscoscossin从此例可以看到，原题中的积分可能有两种凑微分的方法，但选择那一种，有时是要认真考虑或尝试一下的。一般地，形如xdxxksin、xdxxkcos的积分，都可以用分部积分法来计算，并且计算方法和例1的方法类似。例2．求xdxxln解：xdxxxxdxxxxxdxdxx21ln21)(ln21ln21ln21ln2222例3．求dxxx3ln解：)(ln1212ln1ln21ln2223xdxxxxxddxxx一般地，形如xdxxkln的积分，都可以用分部积分法来计算，并且计算方法和例1、例2的方法类似。特别地，k=0时，Cxxxdxxxxdxlnlnln例4．求xdxxarctan解：xdxxxxxdxdxxarctan21arctan21arctan21arctan222dxxxxx222121arctan21一般地，形如xdxxkarctan、xdxxkarcsin等形式的积分，都可以用分部积分法计算，并且计算方法和例4类似。例5．求dxexx2分析：可以用两种方法凑微分，但用哪一种行得通？要试试看。dxxeexxdeexedxdxexxxxxxx2)(22222虽然还不能得到结果，但次数降低了，越变越简单。再进行一次分部积分，应该行得通。解：xxxxxxxxexdexdxxeexxdeexedxdxex22)(222222=Cexeexdxexeexxxxxxx222222有些积分，用一次分部积分不行的话，可进行两次、三次或更多次的分部积分。一般地，形如dxexxk的积分，都可以用分部积分法计算，并且计算方法和例5类似。例6．求xdxeIxcos分析：可以用两种方法凑微分。先看看用下面的凑微分情况怎样。xdexeexdxdxeIxxxxcos1cos1cos1cosxdxexexxsincos1变成跟原式差不多的积分。再看看用下面的凑微分：xxxxexdxexdexdxeIsin1sin1sin1cosxdxexexxsinsin1两种凑微分都差不多，都把原不定积分转化为积分xdxexsin。可以想象，把这个积分作类似的分部积分，就会转化为原积分xdxexcos。这时采用方程的思想即可求出原积分。（略）