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实际问题实际解数学问题（模型）数学解（模型解）设未知数、列方程解方程检验、答列一元一次方程解应用题同步辅导一、学习指导方程是一个应用很广的、很好的数学工具，列用方程解应用题是初中数学的最重要内容之一，必须牢牢掌握．列方程解应用题的过程实际上就是将问题“数学化”的过程．也就是先将实际问题化为数学问题（方程），也就是“数学模型”．然后解这个数学问题（解方程），再将这个数学问题的解转化为实际问题的解．这个解题的过程由下图表示：列方程解应用题的关键是建立等量关系，这里必须把握三个重要环节：一是整体地、系统地审题，二是找出问题中的等量关系，三是正确地解方程并检验解的合理性．列方程解应用题也有多种方法，但最关键的是找出等量关系．下面就让我们来解决一些实际问题．日历中的方程日历本身就是用数学方法编的，本身就包含了很多数学问题．日历中的相邻数字的关系有，左右两数相差为1，上下相差为7．掌握的这个关系，问题就迎刃而解了．例如:一份日历一个横排的4个数的和是102，这4天分别是几号？解：设这4个数中最小的数为x，则其余三个数分别为x+1，x+2，x+3．根据题意得x+x+1+x+2+x+3=102．4x+6=102．x=24．因此，这4天分别是24号，25号，26号，27号．与此类似的是，5个连续奇数的和是35，求这5个数．解：设这5个数最中间的一上为x，其余4个分别为x-4，x-2，x+2，x+4．=35．5x=35．x=7．因此，这5个数分别为3，5，7，9，11．注意上述两种不同的设未知数的方法，你觉得哪种好些？我变胖了炼钢厂炼出的钢多做成一定形状的钢锭，然后再根据需要，锻压成各种不同形状的钢质工件．如果不经过其他加工的话，锻压前的钢锭和锻压成型的工件的体积是相等的．一根一定长度的铁丝，可以围成不同的封闭图形，这些图形的周长都等于这根铁丝原来的长度．掌握了这种变化中的不变的等量关系，这类问题也就不难解决了．例如：一个立方体的水箱的棱长为1米，将这样一箱水放入一个底面的长和宽分别是2．5米和2米的大水箱里，这时大水箱里的水深是多少米？解：设大水箱里的水深是x米，因为立方体的水箱里的水有1立方米，可得2．5×2×x=1，即5x=1．51x．因此，大水箱里水深为51米，即20厘米．打折销售经济中有很多数学问题．实际上，商品销售中价格问题，就是比较简单而又很有趣的数学问题．要解决这些问题，应该知道一些商业的常识，如成本、利润、打折销售等等．例如：一种衣服按成本价提高50%后标价出售，后因季节、市场需求量等原因，按标价的7折售出，每件获利5元，求这种衣服每件的成本价．设这种衣服每件的成本价为x元，标价为150%×x元，按标价的7折售出价为70%×150%×x元，每件获利为（70%×150%×x–x）元，根据题意得70%×150%×x–x=5．5%x=5，即x=100．因此，这种衣服每件的成本价为100元．二．例题评析例1如图，在一个日历上如右图的5个数的和为75，求这5天分别是几号．解：设中间A处的数为x，则B、C分别为x-1，x+1，D、E分别为x-7，x+7，根据题意得x-1+x+1+x+x-7+x+7+=75．5x=75，即x=15．因此，A处为15号，B处为14号，C处为16号，D处为8号，E处为22号．例2三个连续偶数中，第三个的一半与前两个的和为19，求这三个数．解：设这三个连续偶数为x-2，x，x+2，根据题意得BCDEAxxx．2025x．x=8．因此，这三个数分别是6，8，10．例3用一个底面积为15×15平方厘米的长方体容器装满水，向一个长、宽、高分别为20厘米、15厘米、12厘米的长方体铁盒内倒水，当铁盒倒满时，长方体容器中的水的高度下降了多少？分析倒出的水的体积等于长、宽、高分别为20厘米、15厘米、10厘米的长方体铁盒的容积．解：设长方体容器中的水的高度下降了x厘米，根据题意得15×15×x=20×15×12．解得x=16．因此，长方体容器中的水的高度下降了16厘米．例4将一段底面直径为10厘米的圆柱钢材锻压成底面直径为6厘米，高50厘米的圆柱钢材，所用底面直径为10厘米的圆柱钢材长多少厘米？解：设所用底面直径为10厘米的圆柱钢材长x厘米，根据题意得32×π×50=52×π×x．解得x=18．因此，所用底面直径为10厘米的圆柱钢材长18厘米．例5一商店把一种商品按标价的九折售出，仍可获利20%，如果这种商品的进货价为1800元，求这种商品的标价．解：设这种商品的标价为x元，根据题意得90%x=1800（1+20%）．解得x=2400．因此，这种商品的标价为2400元．三、习题1.你在一个月的日历上竖列圈出一个竖列3个数，它们的和分别是24、33、63，分别求这3个数．这3个数的和可以是20吗？可以是21吗？可以是72吗？2.在一个月的日历上圈出3×3个数，它们的和是81，求左下角的数，再求右列中间的数．３．在一个月的日历上圈出５个数，呈一个十字框架（如例１图），它们的和为55，求下面一个数．如果和是115，求上面一个数．这5个数的和可以是125吗？，求这三个数的积．5．8个同学在日历上圈出相邻（横排或竖列）的4个数，并计算出出各自的和为54，62，88，82，44，10，29，20，指出其中错误的结果．6．如果用26厘米铁丝围成一个长方形，使长比宽多3厘米，求这个长方形的长．7．甲圆柱体的半径是乙圆柱体的4倍，高是乙的41，那么甲圆柱体的体积与乙的体积之比是多少？8．要锻压一个底面半径为5厘米，高8厘米的圆柱形工件，需要半径为4厘米圆钢多少厘米？9．能否用一块长、宽、高分别是15厘米、12厘米、8厘米的长方体钢块锻造出棱长为12厘米立方体钢块？10．内径12厘米的圆柱形的杯子，与内径30厘米，内高3.2厘米的圆柱形盘子可以盛同样多的水，求杯子的内高．11．某商场一种商品的原单价为125元，因故以八折出售，如果想使降价前后的销售额都是1万元，那么销售量就增加多少？．一个商店以每3盘16元的价格购进一批录音带，又从另外一处以每4盘21元的价格购进前一批2倍数量的这种录音带．两批合在一起出售，要想全部售出后得到20%的利润，应将售价定为每3盘多少钱？13．某商品的降价10%后又降价10%，由于销售量增加，决定再提价20%，此时的售价比原来的价格高还是低？14．一种商品按标价的九折出售，仍可获利20%，若进价为120元，求这种商品的标价．15．一种商品进货后，零售价确定为每件900元，为了适应竞争，商店决定九折降价，并再让利40元出售．这样仍可获利10%．求进货价．16．一件商品按成本加六成定价，又按售价的72%出售得6336元，这种商品这样出售是否赚钱？17．有一旅客携带30千克行李从南京禄口机场乘飞机去天津，按规定旅客最多携带20千克行李，超过部分每千克按飞机票价格的1.5%购买行李票．现该旅客购买了120元的行李票，求他的飞机票价．．和为24时，三数为1，8，15；和为33时，三数为4，11，18；和为63时，三数为14，21，28．不可能和为20（因为20不是3的倍数）；不可能是21（最小的数不在日历内）；如果是大月，那么三个数为17，24，31；如果不是大月，那么不可能三个数的和为31．2．左下角的数为15；右列中间的数为10．3．和为55时，下面的数为18；和为115时，上面的数为16；和不能是125（下面的数不在日历内）．4．这三个数是7，9，11，积为693．5．4个数的和都不是4的倍数，错的是88，44，20．6．长为8厘米．7．48．12.5厘米．9．不能，锻造出的工件如果底面为边长12厘米，高只有10厘米．10．20厘米．11．20．12．19元．13．为原价的97.2%．14．144元．15．700元．16．成本为5500元，赚钱836元．17．800元．