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刘延革《长方体和正方体的练习课》课堂实录整理：钱梦宇万彩红陆卫燕一、课前谈话:师：其实刚才抽奖的过程用到了数学中什么知识?你看呀,知识和我们生活中的应用分家了,对,生：可能性师：大点声说,对,可能性,或是概率,对不对?我们所学的数学知识在我们生活中的应用是不是挺广泛的?今天我们将要学习什么内容?生：长方体和正方体师：对了,有的同学看了这个题目,会有个疑问,我们上个月刚刚学过这个内容,没关系,今天我们就来上一节练习课,已学过,那正好,我们这节课来温过知新一下.老师有个疑问,在我们上个月学习的长方体和正方体的内容,我们都学习了他们什么学习内容?生：我知道了长方体和正方体都有6个面,12条棱和8个顶点师：恩,那也就是概括地说,我们认识了长方体和正方体的特征.还学了什么?生：我们还学了怎样计算表面积和体积.师：学了计算它的表面积和体积,对吧,求积的内容,还学了?生：我们还学了表示体积的体积单位师：还学了新的计量单位，体积单位和单位间的换算,对不对?我们今天就在学了这些的基础上来上一节练习课,好吗?二、练习师：请看大屏幕（出示正方体棱长为6，单位：分米）认识这个几何形体吗？生：正方体师：如果我们知道他的棱长之和是72分米这个信息，你觉得我们可以求出它的什么？生1：我们可以求出它的棱长是多少。师：还能求出什么？生2：求出它的表面积和体积生3：求出它的底面积师：你们觉得要求出这几个问题，必须要知道哪个问题？生：棱长师：那怎么求出它的棱长？生：用棱长总和除以一共有12条棱师：列式是？生：72除以12师：都同意吗？那一起帮他口算一下72除以12，单位分米生：等于6分米师：单位分米我用dm表示，那我来问你们为什么除以12？生：因为正方体有12条棱，72里有12条程度相等的棱组成的，把它平均分成12份，就求出一条棱。师：恩。这句话其实突出了2个重要的要素，一个是正方体有12条棱，他后面又补充上来一个？生：12条棱程度是相等的师：这条重要不重要？对，这12条棱长底是相等的，所以我们才能直接除以12.对吧，那么现在我们知道了它的棱长是6分米，那接下来就可以求一求它的表面积和体积。那表面积是不是也包含刚才那位同学说的底面积？好，那谁来说说怎么求它的表面积？生：知道了它的棱长，就可以求出它的一个面的面积，而正方体是由6个相等的面组成的师：列式？表面积生继续：6的平方乘以6师：也就是？生继续：6乘6乘以6教师相机板书6×6×6问：对吗？同意吗？这个列式？然后结果？生：216师：真棒口算，好，216平方分米（相机板书）那接下来谁会求体积？给那高高举手的男生生：用6的立方等于216立方分米师：6的立方是什么意思呀？生：就是6的3次方师：哦。也是6×6×6（板书）是这个意思吗？然后是216？（板书216）生：立方分米师相机板书立方分米。师：谢谢。请坐。那我问问通过我们黑板上2个算式是不是我们可以说正方体的表面积和体积的计算的方法是一样的？首先生齐说：不一样师：你看看我们展开之后的算式是一样的呀，也就说它的表面积和体积的计算方法是一样的，同意吗？（生底下齐说不同意）师接着问：怎么不同意呀？生：我认为是不对的，首先6的3次方和6×6×6是不一样的，算理就不同，6×6×6算表面积的话是先求出一个面再求出6个面，而6的立方意思是直接求出一个面然后再把它的竖过来那个面乘上，高再乘上，就是它的体积师问：听明白他的意思了吗？那么我们归纳归纳，他的言外之意是这些6的含义不一样，是吗？那么我们先来看第二个算式6×6×6求体积的3个6它的含义一样吗？生齐说不一样。师：一样不一样？（一样）那它在长方体里可能不一样，长宽高，但是由于这个正方体里长宽高都一样，所以它都是表示的是棱长的长度，所以这3个6表示的意义是一样的，是棱长的意思。对吗？所以呢刚才第一位站起来的同学他说的是6的3次方或6的立方表明这3个6的意义是一样的，而上面这个算式中3个6的意义一样吗？（学生底下齐说不一样）师指着板书算式中第一个6问：这个6是？（生底下齐说棱长）再指着第2个6问：这个6是？（生齐说棱长）再指着第3个6问：那这个6是？（生齐说面）师：对，面的数量，6个面的意思，对吧？所以它的含义和前面6的含义不一样，所以刚开始我们站出来求表面积的同学说的是6的平方乘6，其实他也突出了这3个6的含义不一样，对吗？你看尽管老师把它展开了之后都是6，我们也应该清晰的知道它每个6的意义，是不是？好，通过这题我们知道它们计算的方法是不一样，那我最起码可以说这个正方体它的表面积和体积恰好相等，都是216嘛，恰好相等，这巧了，同意吗？生：我不同意，因为第一个算出来的是这6个面，而第2个算出来是正方体的体积的，而正方体的表面积和体积是不能相比较的师：你看她说得多清楚呀，对吗？一个是求的正方体的面的大小，一个求的是所占空间的大小，尽管它们算得的数据恰好一样，但它们表示的意思依然是不一样的，真好，那通过一组小题看出，同学们对前期所学的知识挺扎实的。真好，不错，那接着我们看这个图形，如果，我们刚才都知道它的棱长是6，它的表面积和体积也求出来了，还是这个正方体，如果我们把底面不变，高不断地长高，它会变成什么体？（生齐说长方体）那我们来看一下（课件演示高变长高变成10分米）这个长方体的长宽高分别是多少？（生齐说10，6，6）师问：长是多少？（生齐说6）一般我们习惯要先说长，宽是多少？（生齐说6）那这个10表示的是？（学生齐说高）那么你们能求出它的表面积吗？在你们的练习纸上试着算一算学生独立在本子上算长方体的表面积师边巡视边说：如果有了一种方法的同学，看看你还能找到不同的方法吗？我看每个同学都已经有了一种答案了，有很多同学也已经有了2个答案了，我看一下，来说说你的想法生：（6×6+10×6+10×6）×2师：得到什么？跟你们的答案一样吗？（一样）那我写上了？师相机板书。问：等于多少？（学生齐说：312平方分米）师相机板书。问：好，我想问一下，这括号里求的是什么呀？不光会算，还得会说，你明白吗？括号里求的是什么？那个女生生：是长乘宽，宽乘高，长乘高3个面不同的面积，然后再乘2就等于它总共的面积师：那也就是括号里求的是括号里3组相对的面的面积，咱们是把每一组中的一个，然后再乘2就是几个面的面积？（学生齐说6个面）6个面的面积，对不对？挺好的，我看还有好多同学有不同的方法，对吗？你说生：我是这样计算的，先用6的平方乘2师相机板书。问：6的平方乘2也就是6×6×2？对吗？生继续说：对，再加上6×10×4（师相机板书）我得到的答案也是312平方分米师：好，谢谢，有不少同学也列出这样的算式对吗？那我想问这个求的是哪一组面的面积？师指着6×6×2问生：我觉得这里求的是正方体底面的，底下一个和上面一个师接着说：也就是上、下这组面的面积，对吗？好，那这个6×10×4求的是？生：因为这是一个特殊的长方体，它的高乘长的几个面是相等的，所以只要求其中一个面然后再乘以4就等于四周的面积师：出就是求前后左右这四个面的面积？对吧？那我想问一个问题这个方法是抓住了这个长方体的什么特点？（老师指着第一种方法问）生：相对面的面积相等师：恩，那第二个呢？生：第二个是抓住了这是一个特殊长方体，它的长和宽是相等的，所以就造成这个长方体侧面一周的四个面的面积是完全相等的，所以我们就可以用6×10再×4师：嗯，它的长宽之这所以相等，是因为这个长方体有一组相对的面是？（学生齐说正方形）正方形，所以它是一个特殊的长方体。好，还有什么不同的方法？老师写一个看看有道理吗？好吗？师板书：6×6×2+6×4×10.问：有道理吗？（学生底下说：有）看出来这个算式和第二个算式有什么区别吗？师：~~`~对吗？好！还有不同的方法吗？生思考。师：那这样，老师写一个，你看看，有道理好吗？（师板书：6×6+6×4×10）师：6×6×2+6×4×10有道理吗？生：有道理。师：很多同学现在还在想，还在思考。看出了这个算式和第二个算式的区别了吗？不是一个简单的运算律的问题，而是这个算式意义本身的有没有道理。生：我觉得是有道理的，因为如果把这个侧面一周展开来的话，就像老师的方法，它的高是10，长是10，然后宽直接算出来师：我特别欣赏这位同学的第一句话，说得特别好。虽然我给的是一个长方体，但它的表面积展开来去想，我们现在对应着算式去想每一步求的是什么，好吗？（师操作演示）我们也把它打开，谁上来指一指6×4求的是哪儿。（生演示）师：看到了吗？再指一遍6×4。（生操作演示）再乘10是哪儿？（生操作演示）看到了吗？生：看到了。师：看到了，谢谢！请回。其实也就是把它侧面的四个小长方形转化成了一个大长方形，那么，6×4其实就是大长方形的长，原来的高的10就是大长方形的宽，对吗？生：对。师：那我们说这个方法有没有道理？生：有。师：他用的转化法把侧面的四个图形转化成一个图形去想，同学们看就这一个问题找到了几种方法？生：三种师：三种方法。也就说同一个问题你变换角度去思考的时候，你会找到不同的解决问题的办法。对吧？生：对。师：那接着来看，我们把它还原回去（师操作演示），仍旧是这个小长方体，如果让它继续不断地长高，它的长也不断的延长，它会成为什么体？你的意见？生：有可能成为长方体，有可能成为正方体。师：这是他的意见，都是这样认为的？不断地长高，长不断地延长，有不同的意见吗？生：我觉得有可能成为一个L形，因为他的长变高了，宽往边上延长，所以长和宽中间形成的一个图形，它延长完了之后一个大的正方形减掉一块正方形，变成一个L形。师：有减掉的吗？它的长整个跟着延长，高整个升高，首先会成为L形吗？生：不可能。师：好，不可能成为L形，没有去掉的部分，整体的都是所有属于长的部分都跟着移动，所有属于高的部分都跟着移动。那是不是就是这位同学说的可能是长方体，可能是正方体，又变化了？生：因为它的长在移动，它的宽是不会变的，所以它还是一个长方体。师：把刚才的话再说一遍。什么没有变？生：宽没有变。师：宽没有变。它只能是一个长方体。同意吗？生：同意。师：现在我们深入地一思考，高变了，长变了，但是只要宽不动，它无论怎么变，它也只能是一个长方体。它要变成一个正方体的话，得怎么变？生：宽要变。师：对，那要变到什么程度才是正方体。生：长宽高一样。师：长宽高一样才是正方体，对吧？生：对。师：好！那也就是只有两个因素在变的话，它只有可能成为一个长方体。那我们看看它变成了一个怎样的长方体。（师演示）这个长方体的长宽高分别是多少？生：长10，宽6，高20.师：请同学们比划一下这个长方体有多大呀？（生活动）我看都有差距。有的同学在桌子上比划大小，有的同学在怀里比划这个大小，有同学把臂伸开了，你们觉得现在比划出来了吗？你们坐着能比划出来吗？生：不能。师：那就勇敢地站起来，离开你的椅子你觉得它有多大，尽可能地比划出来。（生活动）师：首先它的高有多高？生：2米。（师比划演示）师：首先我们踮着脚都未必能到2米，对吗？它的长有多长？生：1米2。（师比划演示）师：它的宽有多少？生：60厘米。师：60厘米就是6分米（师比划演示）。现在整体感受一下它的它的高是2米，长是1米2，宽是6分米，或者60厘米，那么能感受出来它的大小吗？（师生同时边说边活动）又是那个女同学第一个把手臂扬起来，就是觉得挺高挺高，刚才多数同学在怀里比划它的大小，现在我们知道了，它的体积就是有那么大。是吗？生：是。师：要是就把这么大的一个长方体当作生活中的一个柜子，就给这么大的一个柜子刷漆，凭借你的生活经验，应该刷多大面积的一个漆呢？只列式不计算。（生独立完成，指明2生板书）师：好，肯定有人跟黑板上不一样的，但没关系，黑板上的2位同学已经表达了两种想法，我们看看第一位同学列的算式，她列的这个算式柜子刷几个面？生：6个面。师：6个面，生活中有没有这种现象？生：没有。师：不能太绝对，生活中还是有现象的，可能这样的时候少一些，比如一般的办公家具，它的6个面都刷的，知道吗？生：知道。师：所以生活中还是有这种现象。但是我看了绝大多数同学计算6个面，对吧？生：对。师：象我们这位同学就是一个代表，他算了几个面？生：5个。师：5个面。那